Opšta jednačina prave na ravni, u prostoru

U geometriji, nakon tačke, prava linija je možda najjednostavniji element. Koristi se za izgradnju bilo kojeg složenog oblika na ravni i u trodimenzionalnom prostoru. U ovom članku ćemo razmotriti opštu jednačinu prave linije i riješiti nekoliko problema koristeći je. Počnimo!

Prava linija u geometriji

Svi znaju da se oblici kao što su pravougaonik, trougao, prizma, kocka i tako dalje formiraju presecanjem pravih linija. Ravnom linijom u geometriji smatra se jednodimenzionalni objekt koji se može dobiti prenošenjem određene tačke na vektor koji ima isti ili suprotan smjer. Da biste bolje razumjeli ovu definiciju, zamislite da postoji neka tačka P u prostoru. Uzmite proizvoljan vektor u u ovom prostoru. Tada se bilo koja tačka Q prave linije može dobiti kao rezultat sljedećih matematičkih operacija:

Q = P + λ*u.

Ovdje λ je proizvoljan broj koji može biti pozitivno i negativno. Ako je gornja jednakost napisana u terminima koordinata, tada dobijamo sljedeću jednačinu prave:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Ova jednakost se naziva jednačina prave linije u vektorskom obliku. A vektor u se zove vodič.

Opšta jednačina prave linije na ravni

Svaki učenik će to moći zapisati bez ikakvih poteškoća. Ali najčešće se jednačina piše ovako:

y = k * x + b.

Gdje su k i b proizvoljni brojevi. Broj b se zove slobodni član. Parametar k jednak je tangenti ugla formiranog presekom prave linije sa osom apscise.

Gornja jednačina je izražena u odnosu na varijablu y. Ako je predstavljen u općenitijem obliku, tada dobijamo sljedeći oblik pisanja:

A * x + B * y + C = 0.

Nije teško pokazati da se ovaj oblik pisanja opšte jednačine prave linije na ravni lako transformiše u prethodni oblik. Da biste to učinili, lijevi i desni dio treba podijeliti s koeficijentom B i izraziti y.

Gornja slika prikazuje pravu liniju koja prolazi kroz dvije tačke.

Prava linija u trodimenzionalnom prostoru

Nastavimo sa učenjem. Razmotrili smo pitanje kako je jednačina prave linije data na ravni u opštem obliku. Ako obrazac za snimanje dat u prethodnom paragrafu članka primijenimo na prostorni slučaj, šta ćemo dobiti? Jednostavno-to više nije prava linija, već avion. Zaista, sljedeći izraz opisuje ravan koja je paralelna sa Z osom:

A * x + B * y + C = 0.

Ako je C=0, tada takva ravan prolazi kroz Z osu. Ovo je važno funkcija.

Šta je onda sa opštom jednačinom prave linije u prostoru? Da biste shvatili kako to pitati, morate nešto zapamtiti. Dve ravni se seku duž određene prave linije. Šta to znači? Samo, da general jednačina je rezultat rješavanja sistema od dvije jednačine za ravni. Napišimo ovaj sistem:

• A₁* x + B₁* y + C₁*z + D₁= 0;
• A₂* x + B₂* y + C₂*z + D₂= 0.

Ovaj sistem je opšta jednačina prave linije u prostoru. Imajte na umu da ravni ne bi trebale biti paralelne jedna s drugom, odnosno da njihovi normalni vektori trebaju biti nagnuti pod nekim uglom jedan u odnosu na drugi. U suprotnom, sistem neće imati rješenja.

Iznad smo dali vektorski oblik pisanja jednačine za pravu liniju. Pogodno je koristiti ga prilikom rješavanja ovog sistema. Da biste to učinili, prvo morate pronaći vektorski proizvod normala ovih aviona. , rezultat ove operacije bit će vodeći vektor prave linije. Zatim biste trebali izračunati bilo koju tačku koja pripada pravoj liniji. Da biste to uradili, potrebno je da stavite bilo koju od varijabli jednaku određenoj vrednosti, dve preostale varijable će se naći rešavanjem gornjeg sistema.

Kako prevesti vektorsku jednačinu u opštu? Nijanse

Ovo je stvarni problem koji se može pojaviti ako trebate napisati opću jednačinu prave koristeći poznate koordinate dvije tačke. Pokažimo kako se ovaj problem rješava na primjeru. Neka budu poznate koordinate dvije tačke:

• P = (x₁, y₁);
• Q = (x₂, y₂).

Jednačina u vektorskom obliku je prilično jednostavna za napraviti. Koordinate vektora za vođenje jednake su:

PQ = (x₂-x₁, y₂-y₁).

Imajte na umu da nema razlike ako se koordinate tačke P oduzmu od koordinata Q, vektor će samo promijeniti svoj smjer u suprotan. Sada bismo trebali uzeti bilo koju tačku i napisati vektorsku jednačinu:

(x, y) = (x₁, y₁) + λ*(x₂-x₁, y₂-y₁).

Da bismo napisali opću jednačinu prave linije, trebali bismo u oba slučaja izraziti parametar λ. A zatim izjednačite dobijene rezultate. Imamo:

x = x₁+ λ*(x₂-x₁) => λ = (x-x₁) / (x₂-x₁);

y = y₁+ λ₂-y₁) => λ = (y-y₁) / (y₂-y₁) =>

(x-x₁) / (x₂-x₁= (y-y₁) / (y₂-y₁).

Ostaje samo otvoriti zagrade i baciti sve članove jednačine u jedna strana jednakosti, da biste dobili opšti izraz za pravu liniju koja prolazi kroz dve poznate tačke.

U slučaju trodimenzionalnog problema, algoritam rješenja je sačuvan, samo će njegov rezultat biti sistem od dvije jednačine za ravni.

% D zadatak

Potrebno je napraviti opštu jednačinu prave koja siječe OS x u tački (-3, 0) i koja je paralelna sa osom y.

Počnimo rješavati problem pisanjem jednačine u vektorskom obliku. Pošto je prava linija paralelna sa ordinatnom osom, sledeći vektor će biti vodič za to:

u = (0, 1).

Tada će željena linija biti napisana sljedećom jednačinom:

(x, y) = (-3, 0) + λ*(0, 1).

Sada prevodimo ovaj izraz u opći oblik, za to izražavamo parametar λ:

• x = -3;
• y = λ.

Dakle, bilo koja vrijednost varijable y pripada pravoj liniji, međutim, samo joj jedna vrijednost varijable x odgovara. Stoga će opća jednačina imati oblik:

x + 3 = 0.

Problem sa ravnom linijom u svemiru

Poznato je da su dvije ravni koje se sijeku date sljedećim jednačinama:

• 2 * x + y-z = 0;
• x-2 * y + 3 = 0.

Potrebno je pronaći vektorsku jednačinu prave duž koje se ove ravni sijeku. Počnimo.

Kao što je rečeno, opšta jednačina prave linije u trodimenzionalnom prostoru već je data u obliku sistema od dva sa tri nepoznanice. Prije svega, odredit ćemo vodeći vektor duž kojeg se ravni sijeku. Množenje vektorskih koordinata normala na ravni, dobijamo:

u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Budući da množenje vektora negativnim brojem mijenja njegov smjer u suprotan, možemo napisati:

u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Da biste pronašli vektorski izraz za liniju, pored vektora za vođenje, trebali biste znati i neku tačku ove linije. Pronađite pošto njegove koordinate moraju zadovoljiti sistem jednačina u uslovima zadatka, onda ćemo ih pronaći. Stavimo x = 0 na primjer, onda dobijamo:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Dakle, tačka koja pripada željenoj liniji ima koordinate:

P = (0, 1,5, 1,5).

Tada dobijamo odgovor na ovaj problem, vektorska jednačina željene linije će imati oblik:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + λ*(2, 1, 5).

Tačnost rješenja može se lako provjeriti. Da biste to uradili, potrebno je da izaberete proizvoljnu vrednost parametra λ i zamenite dobijene koordinate tačke prave u obe jednačine za ravni, dobićete identitet u oba slučaja.