Izračunavanje ugla između prave i ravni. Koordinatna metoda rješavanja problema

Jedan od najčešćih zadataka u stereometriji je presek pravih linija i ravni i izračunavanje uglova između njih. U ovom članku ćemo detaljnije razmotriti takozvanu koordinatnu metodu i uglove između prave i ravni.

Ravna linija i ravan u geometriji

Prije razmatranja koordinatne metode i ugla između ravne linije i ravni, trebali biste se upoznati s imenovanim geometrijskim objektima.

Prava linija je takva zbirka tačaka u prostoru ili na ravni, od kojih se svaka može dobiti linearnim transferom prethodne na određeni vektor. Zatim ćemo ovaj vektor označiti simbolom u. Ako se ovaj vektor pomnoži s bilo kojim brojem koji nije nula, tada ćemo dobiti paralelni u vektor. Prava linija je linearni beskonačni objekt.

Ravan je takođe skup tačaka koje su raspoređene na takav način da ako se od njih sastoje proizvoljni vektori, onda će svi biti okomiti na neki vektor n. Ovo posljednje se zove normalno ili samo normalno. Ravan je, za razliku od prave linije, dvodimenzionalni beskonačni objekt.

Koordinatna metoda za rješavanje geometrijskih problema

Na osnovu naziva same metode može se zaključiti da govorimo o metoda za rješavanje problemi koji se zasnivaju na obavljanju analitičkih sekvencijalnih proračuna. Drugim riječima, koordinatna metoda omogućava rješavanje geometrijskih problema pomoću alata univerzalne algebre, od kojih su glavne jednačine.

Treba napomenuti da se dotična metoda pojavila u zoru moderne geometrije i algebre. Rene Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton i Leibniz dali su veliki doprinos njegovom razvoju u XVII-XVIII vijeku.

Suština metode je izračunavanje udaljenosti, uglova, površina i zapremina geometrijskih elemenata na osnovu koordinata poznatih tačaka. Imajte na umu da oblik rezultirajućih konačnih jednačina ovisi o koordinatnom sistemu. Najčešće se u zadacima koristi pravougaoni kartezijanski sistem, jer je s njim najpogodnije raditi.

Jednačina prave linije

Razmatranje koordinatne metode i uglova između prave i ravni započet će postavljanjem jednačine prave linije. Tamo su nekoliko načina za predstavljanje linija u algebarskom obliku. Ovdje ćemo razmotriti samo vektorsku jednačinu, jer se iz nje lako može dobiti bilo koji drugi oblik i s njom je lako raditi.

Pretpostavimo da postoje dvije tačke: P I Q. Poznato je da se kroz njih može povući prava linija i ona će biti jedina. Odgovarajući matematički prikaz elementa izgleda ovako:

(x, y, z) = P + λ*PQ.

Gdje je PQ vektor čije se koordinate dobivaju na sljedeći način:

PQ = Q-P.

Simbol λ označava parametar koji može imati apsolutno bilo koji broj.

U pisanom izrazu možete promijeniti smjer vektora, a također zamijeniti koordinate Q umjesto tačke P. Sve ove transformacije neće dovesti do promjene geometrijske lokacije linije.

Imajte na umu da je prilikom rješavanja problema ponekad potrebno pisanu vektorsku jednačinu predstaviti u eksplicitnom (parametarskom) obliku.

Postavljanje aviona u svemiru

Kao i za pravu liniju, postoji i nekoliko oblika matematičkih jednačina za ravan. Među njima primjećujemo vektorsku jednačinu, jednačinu u segmentima i opći oblik. U ovom članku ćemo obratiti posebnu pažnju na ovaj drugi oblik.

Opća jednačina za proizvoljnu ravan može se napisati na sljedeći način:

A * x + B * y + C*z + d = 0.

Latinična velika slova su određeni brojevi koji definišu ravan.

Pogodnost ovog oblika pisanja leži u činjenici da eksplicitno sadrži vektor normalan na ravan. To je jednako sa:

n = (A, B, C).

Poznavanje ovog vektora omogućava, nakon kratkog pogleda na jednačinu ravni, da predstavi lokaciju potonje u koordinatnom sistemu.

Relativna pozicija u prostoru prave linije i ravni

U sljedećem paragrafu članka preći ćemo na razmatranje koordinatne metode i ugla između prave i ravni. Ovdje ćemo odgovoriti na pitanje kako se dotični geometrijski elementi mogu nalaziti u prostoru. Postoje tri takva načina:

1. Prava linija siječe ravan. Koristeći koordinatnu metodu, moguće je izračunati u kojoj se jednoj tački sijeku prava i ravan.
2. Ravan prave linije je paralelna. U ovom slučaju, sistem jednačina geometrijskih elemenata nema rješenje. Da bi se dokazao paralelizam, obično se koristi svojstvo skalarnog proizvoda vektora vođenja prave linije i normale ravni.
3. Avion sadrži pravu liniju. Rješavajući sistem jednačina u ovom slučaju dolazimo do zaključka da se za bilo koju vrijednost parametra λ dobija ispravna jednakost.

U drugom i trećem slučaju, ugao između navedenih geometrijskih objekata je nula. U prvom slučaju leži u rasponu od 0 do 90^{line o}.

Izračunavanje uglova između pravih i ravni

Sada idemo direktno na temu članka. Svako presek prave linije i ravni se dešava pod nekim uglom. Ovaj ugao formira najravnija linija i njena projekcija na ravan. Projekcija se može dobiti ako se okomica spusti sa bilo koje tačke prave linije na ravan, a zatim se kroz rezultirajuću tačku preseka ravni i okomice i tačke preseka ravni i originalne linije, koja će biti projekcija.

Izračunavanje uglova između pravih linija i ravni nije težak zadatak. Da biste ga riješili, dovoljno je znati jednačine odgovarajućih geometrijskih objekata. Recimo da ove jednačine izgledaju ovako:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c);

A * x + B * y + C*z + d = 0.

Željeni ugao se lako pronalazi ako koristite svojstvo proizvoda skalarnih vektora u i n. Konačna formula izgleda ovako:

θ = arcsin (|(u*n)|/(|u|*|n|)).

Ova formula kaže da je sinus ugla između prave i ravni jednak omjeru modula skalarnog umnoška označenih vektora i umnoška njihovih dužina. Da bismo shvatili zašto se umjesto kosinusa pojavio sinus, okrenimo se donjoj slici.

Može se vidjeti da ako primijenimo kosinusnu funkciju, tada ćemo dobiti ugao između vektora u i n. Željeni ugao θ (α na slici) ispada ovako:

θ = 90^o - β.

Sinus se pojavljuje kao rezultat primjene formula za redukciju.

Primjer zadatka

Pređimo na praktičnu upotrebu stečenog znanja. Hajde da rešimo tipičan problem na ugao između prava linija i avion. Date su sljedeće koordinate četiri tačke:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Poznato je da ravan prolazi kroz tačke PQM, a kroz MN-direct. Koristeći koordinatnu metodu, mora se izračunati ugao između ravni i prave linije.

Za početak, zapišimo jednačine prave i ravni. Nije teško napraviti za pravu liniju:

MN = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).

Da bismo sastavili jednačinu ravni, prvo pronađemo normalu za nju. Njegove koordinate jednake su vektorskom proizvodu dva vektora koji leže u datoj ravni. Imamo:

PQ = (-2, 3, 2);

QM = (1, 1, -3) =>

n = [PQ * QM] = (-11, -4, -5).

Sada zamjenjujemo koordinate bilo koje tačke koja leži u njoj u jednadžbu opće ravni da bismo dobili vrijednost slobodnog člana D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C * z) = d =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Jednačina ravni ima oblik:

11 * x + 4 * y + 5 * z-7 = 0.

Ostaje primijeniti formulu za ugao formiran na presjeku prave i ravni kako bi se dobio odgovor na problem. Imamo:

(u * n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u / = √24; / n / = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Na primjeru ovog problema pokazali smo kako koristiti koordinatnu metodu za rješavanje geometrijskih problema.