Matrice: gaussova metoda. Proračun matrice po gaussovoj metodi: primjeri

Linearna algebra, koja se predaje na univerzitetima u različitim specijalnostima, kombinuje mnoge složene teme. Neki od njih su povezani sa matricama, kao i sa rješavanjem sistema linearnih jednačina Gauss i Gauss-Jordan metodama. Ne uspijevaju svi učenici razumjeti ove teme, algoritme za rješavanje različitih problema. Pogledajmo zajedno matrice i metode Gaussa i Gauss-Jordana.

Osnovni koncepti

Matrica u linearnoj algebri odnosi se na pravougaoni niz elemenata (tabela). Ispod su skupovi elemenata zatvorenih u zagradama. Ovo su matrice. Iz gornjeg primjera može se vidjeti da elementi u pravougaonim nizovima nisu samo brojevi. Matrica se može sastojati od matematičkih funkcija, algebarskih simbola.

Da bismo razumjeli neke koncepte, napravimo matricu a od elemenata a_ij. Indeksi nisu samo slova: i je broj reda u tabeli, a j je broj kolone u čijem se području presjeka nalazi element a_ij. Dakle, vidimo da imamo matricu elemenata kao što je a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ itd. . Slovo n označava broj stupaca, a slovo m označava broj redova. Simbol m × n označava dimenziju matrice. Ovo je koncept koji definira broj redova i stupaca u pravougaonom nizu elemenata.

Opciono, trebalo bi da postoji nekoliko kolona i redova u matrici. Sa dimenzijom od 1 × n, niz elemenata je jednolinijski, a sa dimenzijom od m × 1 je jednostupanjski. Ako su Broj redova i broj kolona jednaki, matrica se naziva kvadratna. Svaka kvadratna matrica ima odrednicu (det a). Ovaj termin se odnosi na broj koji se stavlja u skladu sa matricom a.

Nekoliko važnijih koncepata koje treba zapamtiti za uspješno rješenje matrica su glavne i strane dijagonale. Glavna dijagonala matrice je Dijagonala koja se spušta u desni ugao stola iz gornjeg lijevog ugla. Bočna dijagonala ide u desni ugao gore od lijevog ugla odozdo.

Korak pogled na matricu

Pogledajte sliku ispod. Na njemu ćete vidjeti matricu i dijagram. Hajde da se prvo pozabavimo matrixom. U linearnoj algebri, matrica ove vrste naziva se stepenasta matrica. Ima jedno svojstvo: Ako a_ij je prvi element različit od nule u i-tom redu, zatim svi ostali elementi iz matrice ispod i lijevo od A_ij, su nula (. tj. svi oni elementi kojima se može dati slovna oznaka a_kl, gdje k>ja i ja

Sada razmotrite šemu. Odražava stepenasti oblik matrice. Dijagram prikazuje 3 vrste ćelija. Svaki pogled označava određene elemente:

• prazne ćelije su nulti elementi matrice;
• zasjenjene ćelije su proizvoljni elementi koji mogu biti nulti ili različiti od nule;
• crni kvadrati su elementi različiti od nule, koji se nazivaju ugaoni elementi, "koraci" (u matrici predstavljenoj pored njih takvi elementi su brojevi -1, 5, 3, 8).

Prilikom rješavanja matrica, ponekad se takav rezultat dobije kada je "dužina" koraka veća od 1. Ovo je dozvoljeno. Važna je samo "visina" stepenica. U stepenastoj matrici ovaj parametar uvijek mora biti jednak jedan.

Smanjenje matrice u stepenasti oblik

Bilo koja pravougaona matrica Može se transformisati u stepenasti oblik. Ovo se radi zahvaljujući elementarnim transformacijama. Oni uključuju:

• preuređivanje redova po mjestima;
• dodavanje još jednog reda u jedan red, pomnoženo brojem ako je potrebno (možete izvršiti i operaciju oduzimanja).

Razmotrimo elementarne transformacije u rješavanju određenog problema. Slika ispod prikazuje matricu a, koju treba dovesti u postepeni oblik.

Da bismo riješili problem, slijedit ćemo algoritam:

• Pogodno je izvesti transformacije na takvoj matrici, u kojoj je prvi element u gornjem uglu na lijevoj strani (. tj. "vodeći" element) jednak je 1 ili -1. U našem slučaju, prvi element u gornjem redu je 2, pa ćemo zamijeniti prvi i Drugi red.
• Izvršimo operacije oduzimanja dodirivanjem linija #2, 3 i 4. Trebali bismo dobiti nule u prvoj koloni ispod" vodećeg " elementa. Da bismo postigli ovaj rezultat: od elemenata linije broj 2, sekvencijalno oduzimamo elemente linije broj 1 pomnožene sa 2; od elemenata linije broj 3, sekvencijalno oduzimamo elemente linije broj 1 pomnožene sa 4; od elemenata linije broj 4, sekvencijalno oduzimamo elemente linije broj 1.
• Zatim ćemo raditi sa skraćenom matricom (bez kolone # 1 i bez reda # 1). Novi" vodeći " element koji stoji na raskrsnici druge kolone i drugog reda je -1. Nema potrebe za preuređivanjem redova, pa prepisujemo prvu kolonu i prvi i Drugi red bez promjena. Izvršimo operacije oduzimanja da bismo dobili nule u drugoj koloni ispod" vodećeg " elementa: od elemenata trećeg reda uzastopno oduzimamo elemente drugog reda pomnožene sa 3; od elemenata četvrtog reda uzastopno oduzimamo elemente drugog reda pomnožene sa 2.
• Ostaje promijeniti zadnji red. Od njegovih elemenata uzastopno oduzimamo elemente trećeg reda. Tako smo dobili matricu koraka.

Redukcija matrica u postepeni oblik koristi se u rješavanju sistema linearnih jednačina (SLA) Gaussovom metodom. Prije razmatranja ove metode, hajde da shvatimo pojmove koji se odnose na.

Matrice i sistemi linearnih jednačina

Matrice se koriste u raznim naukama. Koristeći tabele brojeva, moguće je, na primer, rešiti linearne jednačine kombinovane u sistem Gaussovom metodom. Za početak, hajde da se upoznamo sa nekoliko pojmova i njihovih definicija, a takođe vidimo kako se matrica formira od sistema koji kombinuje nekoliko linearnih jednačina.

SLU – nekoliko kombinovanih algebarskih jednačina u kojima postoje nepoznanice u prvom stepenu i ne postoje pojmovi koji predstavljaju proizvod nepoznanica.

Rješenje SLU-a su pronađene vrijednosti nepoznatih, pri zamjeni kojih jednačine u sistemu postaju identiteti.

Zajednička jednačina je sistem jednačina koji ima barem jedno rješenje.

Nekompatibilni SL je sistem jednačina koji nema rješenja.

Kako se sastavlja matrica zasnovana na sistemu koji kombinuje linearne jednačine?? Postoje koncepti kao što su osnovne i proširene matrice sistema. Da bi se dobila glavna matrica sistema, potrebno je staviti sve koeficijente u tabelu za nepoznato. vrijednosti. Dobijena je proširena matrica pridruživanjem na glavnu matricu kolone slobodnih pojmova (uključuje poznate elemente sa kojima je svaka jednačina izjednačena u sistemu). Cijeli ovaj proces možete razumjeti proučavanjem slike u nastavku.

Prvo što vidimo na slici je sistem koji uključuje linearne jednačine. Njegovi elementi su: a_ij - numerički koeficijenti, x_j - nepoznate količine, b_i - slobodni uslovi (gdje sam = 1, 2,..., m, I j = 1, 2,... n). Drugi element na slici je glavna matrica koeficijenata. Iz svake jednačine koeficijenti se upisuju u liniju. Kao rezultat toga, u matrici ima onoliko redova koliko ima jednačina u sistemu. Broj kolona jednak je najvećem broju koeficijenata u bilo kojoj jednačini. Treći element na slici je proširena matrica sa kolonom slobodnih termina.

Opće informacije o gaussovoj metodi

U linearnoj algebri, Gaussova metoda se naziva klasičnom metodom rješavanja. Nosi ime Karla Friedricha Gaussa, koji je živio u XVIII-XIX vijeku. On je jedan od najvećih matematičara svih vremena. Suština gaussove metode je izvođenje elementarnih transformacija na sistemu linearnih algebarskih jednačina. Uz pomoć transformacija, SL se svodi na ekvivalentni sistem trouglastog (postepenog) oblika, iz kojeg se mogu pronaći sve varijable.

Vrijedi napomenuti da Karl Friedrich Gauss nije otkrivač klasike način rješavanja sistem linearnih jednačina. Metoda je izmišljena mnogo ranije. Prvi opis od toga se nalazi u enciklopediji znanja drevnih kineskih matematičara, nazvanoj "Matematika u 9 knjiga".

Primjer rješenja SLA po Gauss metodi

Uzmimo konkretan primjer rješenja sistema Gaussovom metodom. Radit ćemo sa SLU prikazanom na slici.

Algoritam rješenja:

1. U direktnom toku Gaussove metode dovest ćemo sistem u postepeni oblik, ali prvo ćemo napraviti proširenu matricu numeričkih koeficijenata i slobodnih pojmova.
2. Za rješavanje matrice Gaussovom metodom (. tj. da bismo ga doveli u stepenasti oblik), sekvencijalno ćemo oduzimati elemente prvog reda od elemenata drugog i trećeg reda. Dobijamo nule u prvoj koloni ispod" vodećeg " elementa. Zatim ćemo zamijeniti drugi i treći red for pogodnost. Elementima posljednjeg reda dodajemo uzastopno elemente drugog reda pomnožene sa 3.
3. Kao rezultat izračunavanja matrice po gaussovoj metodi, dobili smo stepenasti niz elemenata. Na osnovu toga stvorit ćemo novi sistem linearnih jednačina. Koristeći obrnuti tok gaussove metode, nalazimo vrijednosti nepoznatih pojmova. Iz posljednje linearne jednačine može se vidjeti da_x3 jednako je sa 1. Ovu vrijednost zamjenjujemo u drugom redu sistema. Dobijamo jednačinu x₂ – 4 = -4. Iz toga proizilazi da_x2 is 0. Zamjenjujemo x₂ i x₃ u prvu jednačinu sistema: x₁ + 0 +3 = 2. Nepoznati termin je -1.

Odgovor: koristeći matricu, gaussovu metodu, pronašli smo vrijednosti nepoznatih; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Gauss-Jordan metoda

U linearnoj algebri postoji i takva stvar kao što je Gauss-Jordan metoda. Smatra se modifikacijom gaussove metode i koristi se za pronalaženje inverzne matrice, izračunavanje nepoznatih pojmova kvadratnih sistema algebarskih linearnih jednačina. Gauss-Jordan metoda je zgodna jer vam omogućava da riješite problem u jednom koraku (bez korištenja poteza naprijed i nazad).

Počnimo sa terminom "inverzna matrica". Recimo da imamo matricu A. Matrica a 1 će biti inverzna za nju^-, , a uslov je nužno ispunjen: a × a^-1 = A^-1 × A = E, t. e. , proizvod ovih matrica jednak je jediničnoj matrici (u jediničnoj matrici elementi glavne dijagonale su jedinice, a preostali elementi su nula).

Važna nijansa: u linearnoj algebri postoji teorema o postojanju inverzne matrice. Dovoljan i neophodan uslov za postojanje matrice a^-1 da li je ne-degeneracija matrice a. Za ne-degeneraciju, det a (odrednica) nije nula.

Glavni koraci na kojima se zasniva Gauss–Jordan metoda:

1. Pogledajte prvi red određene matrice. Gauss-Jordan metoda se može primijeniti ako prva vrijednost nije nula. Ako je 0 na prvom mjestu, zamijenite redove tako da prvi element ima vrijednost koja nije nula (po mogućnosti je broj bliži jedinici).
2. Podijelite sve elemente prvog reda s prvim brojem. Dobićete niz koji počinje sa jednim.
3. Od drugog reda oduzmite prvi red pomnožen s prvim elementom drugog reda,. tj. na kraju ćete dobiti liniju koja počinje od nule. Učinite isto sa ostalim redovima. Da biste dobili jedinice dijagonalno, podijelite svaki red s njegovim prvim elementom koji nije nula.
4. Kao rezultat, dobit ćete gornju trokutastu matricu metodom Gauss-Jordan. U njemu je glavna dijagonala predstavljena jedinicama. Donji ugao je ispunjen nulama, a gornji ugao je ispunjen različitim vrijednostima.
5. Od pretposljednjeg reda oduzmite zadnji red pomnožen sa potrebnim koeficijentom. Trebali biste dobiti niz sa nulama i jedan. Ponovite istu radnju za preostale linije. Nakon svih transformacija, biće dobijena jedna matrica.

Primjer pronalaženja inverzne matrice po Gauss-Jordan metodi

Da biste izračunali inverznu matricu, morate napisati proširenu A / E matricu i izvršiti potrebne transformacije. Razmotrimo jednostavan primjer. Slika ispod prikazuje matricu a.

Odluka:

1. Za početak, nalazimo odrednicu matrice Gaussovom metodom (det a). Ako se ovaj parametar ne pokaže nulom, tada će se matrica smatrati degeneriranom. To će nam omogućiti da zaključimo da tačno ima^-1. Da bismo izračunali odrednicu, transformišemo matricu u postepeni oblik elementarnim transformacijama. Izbrojimo Broj K jednak broju permutacija niza. Zamijenili smo linije samo 1 put. Izračunajte odrednicu. Njegova vrijednost bit će jednaka proizvodu elemenata glavne dijagonale pomnožene sa (-1)^K. Rezultat proračuna: det a = 2.
2. Napravimo proširenu matricu dodavanjem jedinične matrice originalnoj matrici. Dobijeni niz elemenata će se koristiti za pronalaženje inverzne matrice Gauss – Jordan metodom.
3. Prvi element u prvom redu jednak je jednom. Zadovoljni smo. . s tim, jer nema potrebe za preuređivanjem linija i dijeljenjem ove linije nekim brojem. Počinjemo raditi s drugom i trećom linijom. Da bi se prvi element u drugom redu pretvorio u 0, od drugog reda oduzimamo prvi red pomnožen sa 3. Od trećeg reda oduzimamo prvi (množenje nije potrebno).
4. U rezultirajućoj matrici, drugi element drugog reda je -4, a drugi element trećeg reda je -1. Zamijenite linije radi praktičnosti. Od trećeg reda oduzimamo Drugi red pomnožen sa 4. Drugi red dijelimo sa -1, a treći sa 2. Dobijamo gornju trouglastu matricu.
5. Od drugog reda oduzimamo zadnji red pomnožen sa 4, od prvog reda-posljednji red pomnožen sa 5. Dalje, od prvog reda oduzimamo Drugi red pomnožen sa 2. Na lijevoj strani imamo matricu jedinice. Sa desne strane je inverzna matrica.

Primjer rješenja SLU po Gauss-Jordan metodi

Slika prikazuje sistem linearnih jednačina. Potrebno je pronaći vrijednosti nepoznatih varijabli koristeći matricu, Gauss–Jordan metodu.

Rješenje:

1. Napravimo proširenu matricu. Da bismo to učinili, u tabelu ćemo staviti koeficijente i slobodne uslove.
2. Riješimo matrix po Gauss-Jordan metodi. Od reda # 2 oduzimamo red # 1. Od reda #3 oduzimamo red # 1, prethodno pomnožen sa 2.
3. Zamijenite linije # 2 i 3.
4. Od reda #3 oduzimamo red #2 pomnožen sa 2. Dobiveni treći red podijelite sa -1.
5. Od reda # 2 oduzimamo red # 3.
6. Od reda #1 oduzimamo red #2 pomnožen sa -1. Sa strane imamo kolonu koja se sastoji od cifara 0, 1 i -1. Iz ovoga zaključujemo da x₁ = 0, x₂ = 1 i x₃ = -1.

Ako želite, možete provjeriti ispravnost rješenja zamjenom izračunatih vrijednosti u jednačine:

• 0 - 1 = -1, prvi identitet iz sistema je tačan;
• 0 + 1 + (-1) = 0, drugi identitet iz sistema je tačan;
• 0 – 1 + (-1) = -2, treći identitet iz sistema je tačan.

Zaključak: koristeći Gauss-Jordan metodu, pronašli smo ispravno rješenje kvadratnog sistema koji kombinuje linearne algebarske jednačine.

Online Kalkulatori

Život moderne omladine koja studira na univerzitetima i studira linearnu algebru postao je mnogo jednostavniji. Prije nekoliko godina bilo je potrebno samostalno pronaći rješenja za sisteme koristeći Gauss i Gauss – Jordan metodu. Neki učenici su se uspješno nosili sa zadacima, dok su se drugi zbunili u rješenju, pogriješili, zatražili pomoć od drugova iz razreda. Danas možete koristiti online kalkulatore kada radite domaći. Za rješavanje sistema linearnih jednačina, za traženje inverznih matrica napisani su programi koji pokazuju ne samo tačne odgovore, već i napredak u rješavanju određenog problema.

Na Internetu postoji mnogo resursa sa ugrađenim online kalkulatorima. Matrice Gaussovom metodom, sistemi jednačina se rješavaju ovim programima za nekoliko sekundi. Učenici samo trebaju odrediti potrebne parametre (na primjer, broj jednačina, broj varijabli).