Kako pronaći proizvod za matrice. Množenje matrice. Skalarni proizvod matrica. Proizvod od tri matrice

Različite računarske radnje mogu se izvoditi sa matricama (tabele sa numeričkim elementima). Jedan od njih je množenje brojem, vektorom, drugom matricom, nekoliko matrica. Rad se ponekad pokaže netačnim. Pogrešan rezultat je rezultat nepoznavanja pravila za izvođenje računarskih radnji. Hajde da shvatimo kako izvršiti množenje.

Matrica i broj

Počnimo s najjednostavnijim-množenjem tablice s brojevima za određenu vrijednost. Na primjer, imamo matricu a sa elementima a_ij (ja su brojevi redova, a j brojevi kolona) i broj e. Proizvod matrice po broju e biće matrica B sa elementima b_ij, koje se nalaze po formuli:

b_ij = e × a_ij.

T. e. za dobijanje elementa b₁₁ morate uzeti element a₁₁ i pomnožite ga sa željenim brojem da dobijete b₁₂ , potrebno je pronaći proizvod elementa a₁₂ i brojevi e i tako. na.

Rešimo problem # 1, prikazan na slici. Da biste dobili matricu B, jednostavno pomnožite elemente iz A sa 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Ova vrijednost je upisana u matricu B na mjestu gdje su kolone broj 1 i red broj 1.
2. a_{21 intersect} × 3 = 15. Imamo element b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Imamo element b₁₂. Zapisujemo ga u matricu B na mjestu gdje su kolona # 2 i red # 1.
4. a_{22 intersect} × 3 = 9. Ovaj rezultat je element b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Ovaj broj se unosi u matricu umjesto elementa b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Poslednji primljeni broj je element b₂₃.

Tako smo dobili pravougaoni niz sa numeričkim elementima.

18	–6	12
15	9	–3

Vektori i uvjet za postojanje proizvoda matrica

U matematičkim disciplinama postoji takva stvar kao što je "vektor". . Ovaj izraz se odnosi na uređeni skup količina iz a₁ za_n. Nazivaju se vektorskim koordinatama prostora i pišu se kao kolona. Postoji i izraz"transponovani vektor". Njegove komponente su raspoređene kao niz.

Vektori se mogu nazvati matricama:

• vektor kolone je matrica izgrađena od jedne kolone;
• vektor reda je matrica koja uključuje samo jedan red.

Prilikom izvođenja operacija množenja na matricama važno je zapamtiti da postoji uvjet za postojanje proizvoda. Računska radnja A × B može se izvršiti samo kada je broj kolona u tabeli a jednak broju redova u tabeli B. Rezultirajuća matrica dobijena kao rezultat izračunavanja uvijek ima Broj redova tabele A i broj kolona tabele B.

Prilikom množenja ne preporučuje se preuređivanje matrica (množitelja). Njihov proizvod obično ne odgovara komutativnom (translacijskom) zakonu množenja,. tj. rezultat operacije A × B nije jednak rezultatu operacije B × A. Ova karakteristika se zove nekomutativnost proizvoda matrica. U nekim je slučajevima rezultat množenja A × B jednak rezultatu množenja B × A,. tj. proizvod je komutativan. Matrice, za koji jednakost A × B = B × A se vrši, nazvana permutacija. Primjere takvih tabela možete pronaći u nastavku.

Množenje vektorom kolone

Prilikom množenja matrice vektorom kolone, moramo uzeti u obzir uslov postojanja proizvoda. Broj kolona (n) u tabeli mora odgovarati broju koordinata od kojih je vektor sastavljen. Rezultat proračuna je transformirani vektor. Njegov broj koordinata jednak je broju redova (m) iz tabele.

Kako se izračunavaju koordinate vektora y, ako postoji matrica A i vektor x? Formule su kreirane za proračune:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

gdje x₁, ..., x_n da li su koordinate iz x-vektora, m je broj redova u matrici i broj koordinata u Novom y-vektoru, n je broj stupaca u matrici i broj koordinata u x-vektoru, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn da li su elementi matrice a.

Dakle, za dobijanje i-te komponente novog vektora izvodi se skalarni proizvod. Vektor i-tog reda preuzet je iz matrice a i množi se sa postojećim vektorom x.

Hajde da rešimo problem br. 2. Proizvod matrice po vektoru može se pronaći, jer a ima 3 kolone, A x se sastoji od 3 koordinate. Kao rezultat, trebali bismo dobiti vektor kolone sa 4 koordinate. Koristimo gornje formule:

1. Izračunaj y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konačna vrijednost je 2.
2. Izračunaj y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). Prilikom izračunavanja dobijamo 0.
3. Izračunaj y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Zbir proizvoda ovih multiplikatora je 6.
4. Izračunaj y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). Koordinata je -8.

Množenje vektorskog niza matricom

Nemoguće je pomnožiti matricu koja se sastoji od nekoliko stupaca vektorskim redom. U takvim slučajevima uslov za postojanje djela nije ispunjen. Ali množenje vektorskog niza matricom je moguće. Ova računska operacija se izvodi kada se broj koordinata u vektoru i broj redova u tabeli poklapaju. Rezultat proizvoda vektora matricom je novi vektorski niz. Njegov broj koordinata treba da bude jednak broju kolona u matrici.

Izračunavanje prve koordinate novog vektora podrazumijeva množenje vektorskog reda i prve vektorske kolone iz tablice. Druga koordinata se izračunava na sličan način, ali umjesto vektora prve kolone uzima se vektor druge kolone. Evo opće formule za izračunavanje koordinata:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

gdje y_k je koordinata iz y vektora, (k je u rasponu od 1 do n), m je broj redova u matrici i broj koordinata u X vektoru, n je broj stupaca u matrici i broj koordinata u y vektoru, a sa alfanumeričkim indeksima su elementi matrice A.

Proizvod pravougaonih matrica

Ova Računarska akcija može izgledati komplikovano. Međutim, množenje se lako vrši. Počnimo s definicijom. Proizvod matrice a sa m redova i n kolona i matrice B sa n redova i p kolona je matrica C sa m redova i p kolona u kojima element c_ij je zbir proizvoda elemenata i-tog reda iz tabele a i j-te kolone iz tabele B. Jednostavnije rečeno, element c_ij je skalarni proizvod vektora i-tog reda iz tabele a i vektora J-te kolone iz tabele B.

Sada shvatimo u praksi kako pronaći proizvod pravokutnih matrica. 3 za ovo. Uslov za postojanje djela je ispunjen. Počnimo sa izračunavanjem elemenata c_ij:

1. Matrica C će se sastojati od 2 reda i 3 kolone.
2. Izračunajte element c₁₁. Da bismo to uradili, izvodimo skalarni proizvod reda # 1 iz matrice A i kolone # 1 iz matrice B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Zatim nastavljamo na isti način, mijenjajući samo redove, kolone (ovisno o indeksu elementa).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Elementi su izračunati. Sada ostaje samo napraviti pravougaoni blok dobijenih brojeva.

16	12	9
31	18	36

Množenje tri matrice: teorijski dio

Da li je moguće pronaći proizvod od tri matrice? Ova Računarska operacija je izvodljiva. Rezultat se može dobiti na više načina. Na primjer, postoje 3 kvadratne tablice (istog reda) – A, B i C. Za izračunavanje proizvoda možete:

1. Prvo pomnožite a i B. , zatim pomnožite rezultat sa C.
2. Prvo pronađite proizvod B i C. Zatim pomnožite matricu a sa dobijenim rezultatom.

Ako trebate pomnožiti pravougaone matrice, prvo morate biti sigurni da je ova Računarska operacija moguća. Moraju postojati proizvodi A × B i B × C.

Postepeno množenje nije greška. Postoji takva stvar kao što je "asocijativnost množenja matrice". Ovaj izraz znači jednakost (A × B) × C = A × (B × C).

Množenje tri matrice: vježba

Kvadratne matrice

Počnimo množenjem malih kvadratnih matrica. Slika u nastavku prikazuje Zadatak broj 4, koji moramo riješiti.

Koristićemo svojstvo asocijativnosti. Prvo pomnožite A i B, ili B i C. Pamtimo samo jednu stvar: ne možete preurediti množitelje,. tj. ne možete pomnožiti B × A ili C × B. Ovim množenjem dobit ćemo pogrešan rezultat.

Tok odluke.

Prvi Korak. Da biste pronašli ukupni proizvod, prvo pomnožite a sa B. Prilikom množenja dvije matrice vodit ćemo se pravilima koja su gore navedena. Dakle, rezultat množenja a i B bit će matrica D sa 2 reda i 2 kolone,. tj. pravougaoni niz će uključivati 4 elementa. Naći ćemo ih izvršavanjem kalkulacije:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Srednji rezultat je spreman.

30	10
15	16

Korak Dva. Sada pomnožite matricu D sa matricom C. Rezultat bi trebao biti kvadratna matrica G sa 2 reda i 2 kolone. Izračunajte elemente:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Dakle, rezultat proizvoda kvadratnih matrica je tabela G sa izračunatim elementima.

250	180
136	123

Pravougaone matrice

Slika ispod prikazuje Zadatak broj 5. Potrebno je pomnožiti pravougaone matrice i pronaći rješenje.

Provjerimo je li uvjet za postojanje proizvoda A × B i B × C zadovoljen. Redovi ovih matrica nam omogućavaju da izvršimo množenje. Počnimo sa rješavanjem problema.

Tok odluke.

Prvi Korak. Pomnožite B sa C da dobijete D. Matrica B sadrži 3 reda i 4 kolone, a matrica C sadrži 4 reda i 2 kolone. To znači da ćemo dobiti matricu D sa 3 reda i 2 kolone. Izračunajte elemente. Evo 2 primjera proračuna:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Nastavljamo sa rješavanjem problema. Kao rezultat daljih proračuna, nalazimo vrijednosti d₂₁, d₂₂, d₃₁ I d₃₂. Ovi elementi su 0, 19, 1 i 11 respektivno. Napišimo pronađene vrijednosti u pravougaoni niz.

0	7
0	19
1	11

Korak Dva. Pomnožite a sa D da dobijete konačnu matricu F. Imaće 2 reda i 2 kolone. Izračunajte elemente:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Napravimo pravougaoni niz, koji je konačni rezultat množenja tri matrice.

1	139
3	52

Uvod u direktan rad

Kronecker proizvod matrica je prilično težak materijal za razumijevanje. Takođe ima dodatni naziv-direktan rad. Šta se podrazumeva pod ovim pojmom? Recimo da imamo tabelu a reda m × n i tabelu B reda p × q. Direktni proizvod matrice a po matrici B je matrica reda mp × nq.

Imamo 2 kvadratne matrice A, B, koje su prikazane na slici. Prvi se sastoji od 2 kolone i 2 reda, a drugi se sastoji od 3 kolone i 3 reda. Vidimo da se matrica koja je rezultat direktnog proizvoda sastoji od 6 redova i potpuno istog broja kolona.

Kako se elementi nove matrice izračunavaju sa direktnim proizvodom? Veoma je lako pronaći odgovor na ovo pitanje Ako analizirate crtež. Prvo popunite prvi red. Uzmite prvi element iz gornjeg reda tablice a i pomnožite ga uzastopno s elementima prvog reda iz tablice B. Zatim uzmite drugi element prvog reda tablice a i pomnožite ga uzastopno s elementima prvog reda tablice B. Da biste popunili Drugi red, ponovo uzmite prvi element iz prvog reda tablice a i pomnožite ga s elementima drugog reda tablice B.

Dobijena matrica dobijena direktnim proizvodom naziva se blok matrica. Ako ponovo analiziramo crtež, možemo vidjeti da se naš rezultat sastoji od 4 bloka. Svi oni uključuju elemente matrice B. Dodatno, element svakog bloka se množi sa određenim elementom matrice A. U prvom bloku svi elementi se množe sa a₁₁, u drugom - na a₁₂, u trećem - na a₂₁, u četvrtom - na a₂₂.

Odrednica proizvoda

Kada se razmatra tema množenja matrica, vrijedi uzeti u obzir i pojam kao što je "odrednica proizvoda matrica". Šta je odrednica? Ovo je važno karakteristična za kvadratnu matricu, određena vrijednost koja se stavlja u skladu s ovom matricom. Slovna oznaka odrednice je det.

Za matricu a koja se sastoji od dvije kolone i dva reda, odrednicu je lako pronaći. Postoji mala formula koja predstavlja razliku proizvoda određenih elemenata:

det a = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Razmotrimo primjer izračunavanja odrednice za tabelu drugog reda. Postoji matrica a u kojoj A₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 i a₂₂ = 1. Za izračunavanje odrednice koristimo formulu:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = -13.

Za matrice 3 × 3, odrednica se izračunava pomoću složenije formule. U nastavku je predstavljen za matrix a:

det a = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Da bi zapamtili formulu, smislili su pravilo trougla, koje je ilustrovano na slici. Prvo se množe elementi glavne dijagonale. Dobivenoj vrijednosti dodaju se proizvodi onih elemenata označenih uglovima trokuta sa crvenim stranicama. , tada se oduzima umnožak elemenata dijagonale stranice i oduzimaju proizvodi onih elemenata označenih uglovima trokuta s plavim stranicama.

Sada Razgovarajmo o odrednici proizvoda matrica. Postoji teorema koja kaže da je ovaj pokazatelj jednak proizvodu determinanti tablica množitelja. Pogledajmo ovo na primjeru. Imamo matricu a sa elementima a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 i a₂₂ = 1 i matrica B sa elementima b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 i b₂₂ = 2. Nalazimo odrednice za matrice A i B, proizvod A × B i odrednicu ovog proizvoda.

Tok odluke.

Prvi Korak. Izračunajmo odrednicu za a: det a = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Zatim izračunavamo odrednicu za B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Korak Dva. Pronađite proizvod A × B. Nova matrica označena je slovom C. Izračunajmo njegove elemente:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Treći Korak. Izračunajmo odrednicu za C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Uporedimo sa vrijednošću koja se može dobiti množenjem odrednica originalnih matrica. Brojevi su isti. Gornja teorema je tačna.

Čin rada

Rang matrice je karakteristika koja odražava maksimalan broj linearno nezavisnih redova ili kolona. Za izračunavanje ranga izvode se elementarne transformacije matrice:

• preuređivanje dva paralelna reda;
• množenje svih elemenata određenog reda iz tablice brojem koji nije jednak nuli;
• dodavanje elemenata iz drugog reda pomnoženog sa određenim brojem elementima jednog reda.

Nakon elementarnih transformacija, gledaju na broj redova koji nisu nula. Njihov broj je rang matrice. Razmotrimo prethodni primjer. Predstavio je 2 matrice: a sa elementima a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 i a₂₂ = 1 i B sa elementima b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 i b₂₂ = 2. Također ćemo koristiti matricu C dobivenu kao rezultat množenja. Ako izvršimo elementarne transformacije, tada neće biti nula redova u pojednostavljenim matricama. To znači da su i rang tabele a, i rang tabele B, i rang tabele C jednaki 2.

Sada ćemo obratiti posebnu pažnju na rang proizvoda matrica. Postoji teorema koja kaže da rang proizvoda tabela koje sadrže numeričke elemente ne prelazi rang nijednog od faktora. Ovo se može dokazati. Neka je a matrica veličine k × S, A B matrica veličine s × m. Proizvod A i B jednak je C.

Proučimo sliku predstavljenu gore. Prikazuje prvu kolonu matrice C i njen pojednostavljeni unos. Ova kolona je linearna kombinacija kolona uključenih u matricu a. Isto se može reći i za bilo koju drugu kolonu iz pravougaonog niza C. Dakle, podprostor formiran od vektora kolone tabele C postoji u podprostoru koji čine vektori kolone tabele a. Iz tog razloga, dimenzija potprostora Br. 1 ne prelazi dimenziju potprostora Br. 2. Iz ovoga proizilazi da rang u kolonama tabele C ne prelazi rang u kolonama tabele a,. tj. r (C) ≤ r (a). Ako razmišljamo na isti način, onda možemo biti sigurni da su redovi matrice C linearne kombinacije redova matrice B. To podrazumijeva nejednakost r (C) ≤ r (B).

Kako pronaći proizvod matrica je prilično komplikovana tema. Može se lako savladati, ali da biste postigli takav rezultat, morat ćete provesti puno vremena pamteći sva postojeća pravila i teoreme.