Jednačine ravni. Ugao između dvije ravni

Ravan, zajedno sa tačkom i pravom linijom, osnovni je geometrijski element. Mnogi oblici u prostornoj geometriji su konstruisani pomoću njega. U ovom članku ćemo detaljnije razmotriti pitanje Kako pronaći ugao između dvije ravni.

Koncept

Prije nego što kažu o ugao između dva aviona, treba dobro shvatiti koji element u geometriji će se raspravljati. Hajde da razumemo terminologiju. Ravan je beskrajna zbirka tačaka u prostoru, povezujući ih zajedno, dobijamo vektore. Potonje će biti okomito na neki jedan vektor. Obično se naziva normalom za avion.

Gornja slika prikazuje ravan i dva normalna vektora za nju. Može se vidjeti da oba vektora leže na istoj pravoj liniji. Ugao između njih je 180^o.

Jednačine

Ugao između dvije ravni može se odrediti ako je poznata matematička jednačina dotičnog geometrijskog elementa. Postoji nekoliko vrsta sličnih jednačina, čija su imena navedena u nastavku:

• opšti tip;
• vector;
• u segmentima.

Ova tri tipa su najpogodnija za rješavanje različitih vrsta zadataka, pa se najčešće koriste.

Jednačina opšteg tipa izgleda ovako:

A * x + B * y + C*z + d = 0.

Ovdje su x, y, z koordinate proizvoljne tačke koja pripada datoj ravni. Parametri A, B, C i D su brojevi. Pogodnost ovog oblika pisanja leži u činjenici da su brojevi A, B, C koordinate vektora normalne prema ravni.

Vektorski oblik ulaska u ravan može se predstaviti na sljedeći način:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Ovdje (a₂, b₂, c₂) i (a₁, b₁, c₁)- parametri dva koordinatna vektora koji pripadaju ravni koja se razmatra. Tačka (x₀, y₀, z₀) takođe leži u ovom avionu. Parametri α i β mogu uzimati nezavisne i proizvoljne vrijednosti jedni od drugih.

Konačno, jednačina ravni u segmentima je predstavljena u sljedećem matematičkom obliku:

x / p + y / q + z / l = 1.

Ovdje su p, q, l specifični brojevi (uključujući negativne). Ova vrsta jednačine je zgodna kada je potrebno predstaviti ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu, jer brojevi p, q, l prikazuju tačke preseka sa osama x, y i z ravni.

Imajte na umu da se svaka vrsta jednačine može pretvoriti u bilo koju drugu uz pomoć jednostavnih matematičkih operacija.

Formula ugla između dvije ravni

Sada razmotrite sljedeću nijansu. U trodimenzionalnom prostoru, dve ravni se mogu locirati na samo dva načina. Ili se ukrštaju ili budu paralelni. Između dvije ravni, ugao se naziva onim koji se nalazi između njihovih vodećih vektora (normala). Ukrštajući se, 2 vektora formiraju 2 ugla (oštri i tupi u opštem slučaju). Kako se ugao između ravni smatra oštrim. Razmotrite jednačinu.

Formula ugla između dvije ravni ima oblik:

θ = arccos (/(n₁* n₂) /|(/n₁/ * / n₂|)).

Lako je pretpostaviti da je ovaj izraz direktna posljedica skalarnog proizvoda normalnih vektora n₁ i n₂za razmatrane avione. Modul skalarnog proizvoda u brojniku označava da će ugao θ uzeti vrijednosti samo od 0^o za 90^o. Proizvod modula normalnih vektora u nazivniku znači umnožak njihovih dužina.

Napomena Ako (n₁* n₂) = 0, tada se ravni sijeku pod pravim uglom.

Primjer zadatka

Nakon što smo shvatili kako se zove ugao između dvije ravni, riješit ćemo sljedeći problem. Kao primjer. Dakle, potrebno je izračunati ugao između takvih ravni:

2 * x-3 * y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

Za rješavanje problema potrebno je znati vodeće vektore aviona. Za prvu ravan, normalni vektor je: n₁= (2, -3, 0). Da biste pronašli vektor normalne druge ravni, pomnožite vektore koji stoje iza parametara α i β. Kao rezultat, dobijamo vektor: n₂= (5, -3, 2).

Da biste odredili ugao θ, koristite formulu iz prethodnog pasusa. Dobijamo:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 drago.

Izračunati ugao u radijanima odgovara 31,26^o. Dakle, ravni iz problematičnog stanja seku se pod uglom od 31,26^o.