Udaljenost između paralelnih linija. Udaljenost između paralelnih ravni

Prava linija i ravan dva su najvažnija geometrijska elementa pomoću kojih možete graditi različite oblike u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru. Razmotrimo kako pronaći udaljenost između paralelnih pravih i paralelnih ravni.

Matematički zadatak prave linije

Iz školskog kursa geometrije poznato je da se u dvodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu ravna linija može postaviti u sljedećem obliku:

y = k * x + b.

Gdje su k i b brojevi (parametri). Pisani oblik predstavljanja prave linije na ravni je ravan koja je paralelna sa Z osom u trodimenzionalnom prostoru. S obzirom na to, u ovom članku, za matematički zadatak ravne linije, koristićemo prikladniji i univerzalniji oblik – vektor.

Pretpostavimo da je naša prava paralelna sa nekim vektorom u (A, b, c) i prolazi kroz tačku P(x_0, y₀, z₀). U ovom slučaju, u vektorskom obliku, njegova jednačina će biti predstavljena na sljedeći način:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Ovdje λ je bilo koji broj. Ako eksplicitno predstavimo koordinate otkrivanjem pisanog izraza, tada ćemo dobiti parametarski oblik pisanja prave linije.

Pogodno je raditi s vektorskom jednačinom prilikom rješavanja različitih problema u kojima je potrebno odrediti udaljenost između ravne paralele.

Ravne linije i udaljenost između njih

O udaljenosti između pravih linija ima smisla govoriti samo kada su paralelne (u trodimenzionalnom slučaju postoji i udaljenost različita od nule između pravih linija koje se sijeku). Ako se linije sijeku, onda je očito da su na nultoj udaljenosti jedna od druge.

Udaljenost između pravih paralelnih linija je dužina okomice koja ih povezuje. Da biste odredili ovaj indikator, dovoljno je odabrati proizvoljnu tačku na jednoj od pravih linija i od nje spustiti okomicu na drugu.

Ukratko ćemo opisati postupak za pronalaženje željene udaljenosti. Pretpostavimo, da smo upoznajte vektorske jednačine dvije prave, koje su predstavljene u sljedećem općem obliku:

(x_, y, z) = P + λ*u;

(x_, y, z) = Q + β*v.

Konstruišemo paralelogram na ovim linijama tako da jedna od strana bude PQ, a druga, na primer, u. Očigledno je da je visina ove figure izvučene iz tačke P dužina željene okomice. Da biste ga pronašli, možete koristiti sljedeću jednostavnu formulu:

d = / [PQ*u]|/|u|.

Budući da je udaljenost između paralelnih linija dužina okomitog segmenta između njih, tada je prema pisanom izrazu dovoljno pronaći modul vektorskog proizvoda PQ i u i rezultat podijeliti s dužinom vektora u.

Primjer problema za određivanje udaljenosti između pravih linija

Dvije ravne linije date su sljedećim vektorskim jednadžbama:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ*(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β * (2, -1, -3).

Iz pisanih izraza može se vidjeti da imamo dvije paralelne linije. Zaista, ako pomnožimo sa -1 koordinate vektora vođenja prve linije, dobićemo koordinate vektora vođenja druge linije, što ukazuje na njihov paralelizam.

Udaljenost između paralelnih linija izračunava se pomoću formule napisane u prethodnom paragrafu članka. Imamo:

P(2, 3, -1), Q (1, 1, 1) => PQ = (-1, -2, 2);

u = (-2, 1, 3).

Onda dobijamo:

/ u / = √14 cm;

d = |[PQ*u]|/|u| = √(90/14) = 2,535 cm.

Imajte na umu da se umjesto tačaka P I Q, apsolutno sve tačke koje pripadaju ovim linijama mogu koristiti za rješavanje problema. Sa ovim bismo dobili istu udaljenost d.

Postavljanje ravni u geometriji

Pitanje udaljenosti između pravih linija detaljno je razmotreno gore. Sada pokažimo Kako pronaći udaljenost između paralelnih ravni.

Svi zamišljaju šta je avion. Prema matematičkoj definiciji, navedeni geometrijski element je skup tačaka. Štaviše, ako napravite sve moguće vektore koristeći ove tačke, onda će svi oni biti okomiti na jedan vektor. Ovo posljednje se obično naziva normalom za avion.

Za postavljanje jednačine ravni u trodimenzionalnom prostoru najčešće se koristi opći oblik jednačine. To izgleda ovako:

A * x + B * y + C*z + d = 0.

Gdje su velika latinična slova neki brojevi. Pogodno je koristiti ovu vrstu ravne jednačine jer su koordinate vektora normale eksplicitno postavljene u njoj. Oni su jednaki A, B, C.

Nije teško shvatiti da su dvije ravni paralelne samo kada su im normalne paralelne.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne ravni ?

Da biste odredili navedenu udaljenost, trebali biste jasno razumjeti o čemu se raspravlja. Udaljenost između ravni koje su paralelne jedna s drugom podrazumijeva se kao dužina segmenta okomita na njih. Krajevi ovog segmenta pripadaju avionima.

Algoritam za rješavanje takvih problema je jednostavan. Da biste to učinili, morate pronaći koordinate apsolutno bilo koje tačke koja pripada jednoj od dvije ravni. Zatim biste trebali koristiti sljedeću formulu:

d = / A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D / / √(A² + B² + C²).

Budući da je udaljenost pozitivna veličina, brojnik ima predznak modula. Napisana formula je univerzalna, jer vam omogućava da izračunate udaljenost od ravni do apsolutno bilo kojeg geometrijskog elementa. Dovoljno je samo znati koordinate jedne tačke ovog elementa.

Radi potpunosti, napominjemo da ako normale dvije ravni nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takve ravni presijecati. Udaljenost između njih tada će biti nula.

Zadatak određivanja udaljenosti između aviona

Poznato je da su dvije ravni date sljedećim izrazima:

y / 5 + x / (-3) + z / 1 = 1;

-x + 3/5 * y + 3 * z-2 = 0.

Potrebno je dokazati da su ravni paralelne, kao i odrediti udaljenost između njih.

Da biste odgovorili na prvi dio problema, potrebno je prvu jednačinu dovesti u opći oblik. Imajte na umu da je dat u takozvanom obliku jednačine u segmentima. Pomnožite njegov lijevi i desni dio sa 15 i premjestite sve članove na jedna strana jednakosti, dobijamo:

-5 * x + 3 * y + 15 * z-15 = 0.

Napišimo koordinate dva normalna vektora ravni:

n₁= (-5, 3, 15);

n₂= (-1, 3/5, 3).

Može se vidjeti da ako n₂pomnoži se sa 5, tada ćemo dobiti tačno koordinate n₁. Dakle, dotični ravni su paralelni.

Da biste izračunali udaljenost između paralelnih ravni, odaberite proizvoljnu tačku prve od njih i upotrijebite formulu datu ranije. Na primjer, uzmite tačku (0, 0, 1), koja pripada prvoj ravni. Onda dobijamo:

d = / A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D / / √(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 vidi.

Potrebno rastojanje je 31 mm.

Udaljenost između ravni i prave linije

Pružena teorijska znanja također omogućavaju rješavanje problema određivanja udaljenosti između prave linije i ravni. Gore je već spomenuto da je formula koja vrijedi za proračune između ravni univerzalna. Može se koristiti i za rješavanje zadatka. Da biste to učinili, dovoljno je odabrati bilo koju tačku koja pripada datoj pravoj liniji.

Glavni problem u određivanju udaljenosti između razmatranih geometrijskih elemenata je dokaz njihovog paralelizma (ako to nije slučaj, onda je d=0). Paralelizam je lako dokazati ako izračunamo skalarni proizvod normale i vodeći vektor za liniju. Ako su dotični elementi paralelni, tada će ovaj proizvod biti jednak nuli.