Šta je hiperboloid: jednačina, konstrukcija, opšte karakteristike

Da biste čitaocu olakšali da zamisli šta je hiperboloid - trodimenzionalni objekat - prvo morate uzeti u obzir istoimenu krivulju, hiperbolu koja se uklapa u dvodimenzionalni prostor.

Hiperbola ima dvije ose: stvarnu, koja se poklapa sa osom apscise na ovoj slici, i imaginarnu-sa osom ordinate. Ako mentalno počnete okretati jednačinu hiperbole oko njene zamišljene ose, tada će površina, "pometen" po krivini će biti hiperboloid sa jednom šupljinom.

Ako počnemo rotirati hiperbolu oko njene stvarne ose na ovaj način, onda svaka od ove dvije "polovine" krivine će formirati sopstvenu odvojenu površinu, a zajedno će se zvati hiperboloid sa dve šupljine.

Dobijeni rotiranjem odgovarajuće krive ravni, oni se nazivaju hiperboloidi rotacije. Imaju parametre koji pripadaju rotiranoj krivini u svim smjerovima okomito na os rotacije. Općenito, ovo nije slučaj.

Hiperboloidna jednačina

Općenito, površina se može definirati sljedećim jednačinama u kartezijanskim koordinatama (x,y, z):

U slučaju hiperboloida rotacije, njegova simetrija u odnosu na OS oko koje je rotirana izražava se u jednakosti koeficijenata a =b.

Hiperboloidne Karakteristike

On ima fokus. Znamo da krive imaju žarišta na ravni - u slučaju hiperbole, na primjer, modul razlike udaljenosti od proizvoljne tačke na hiperboli do jednog fokusa i drugog je konstantan po definiciji, u stvari, tačke fokusa.

Prilikom prelaska u trodimenzionalni prostor, definicija se praktično ne mijenja: žarišta su opet dvije tačke, a razlika u udaljenostima od njih do proizvoljne tačke koja pripada površini hiperboloida je konstantna. Kao što vidite, iz promjena se pojavila samo treća koordinata svih mogućih tačaka, jer su sada postavljene u prostoru. Uopšteno govoreći, određivanje fokusa je ekvivalentno identifikaciji tipa krivulje ili površine: govoreći o tome kako se tačke površine nalaze u odnosu na žarišta, zapravo odgovaramo na pitanje šta je hiperboloid i kako izgleda.

Vrijedi zapamtiti da hiperbola ima asimptote-ravne linije, do kojih njene grane teže beskonačnosti. Ako prilikom izgradnje hiperboloida rotacije mentalno rotirate asimptote zajedno sa hiperbolom, tada ćete pored hiperboloida dobiti i konus koji se zove asimptotski. Asimptotski konus postoji i u hiperboloidima sa jednom i dvostrukom šupljinom.

Druga važna karakteristika, dostupna samo u hiperboloidu sa jednom šupljinom, su pravolinijski generatori. Kao što ime govori, Ovo su linije i potpuno leže na datoj površini. Dva pravolinijska generatora prolaze kroz svaku tačku hiperboloida sa jednom šupljinom. Oni pripadaju, odnosno, dvema porodicama linija, koje su opisane sledećim sistemima jednačina:

Dakle, hiperboloid s jednom šupljinom može se u potpunosti sastojati od beskonačnog broja pravih linija dvije porodice, a svaka linija jedne od njih presijecat će se sa svim linijama druge. Površine koje zadovoljavaju takva svojstva nazivaju se linearnim; mogu se konstruisati rotiranjem jedne prave linije. Definicija kroz međusobni raspored pravih linija (pravolinijskih generatora) u prostoru takođe može poslužiti kao nedvosmislena oznaka šta je hiperboloid.

Zanimljiva svojstva hiperboloida

Krive drugog reda i njihove odgovarajuće površine rotacije imaju zanimljiva optička svojstva vezana za žarišta. U slučaju hiperboloida, ovo je formulisano na sledeći način: ako se zrak oslobađa iz jednog fokusa, onda se reflektuje od najbližeg "", tada će krenuti takvim smjerom kao da dolazi iz drugog fokusa.

Hiperboloidi u životu

Najvjerovatnije je većina čitalaca svoje upoznavanje sa analitičkom geometrijom i površinama drugog reda započela fantastičnim romanom Alekseja Tolstoja "Hiperboloid inženjera Garina". Međutim, pisac ili nije znao šta je hiperboloid, ili je žrtvovao tačnost zarad umjetnosti: opisani izum je prije paraboloid u smislu fizičkih karakteristika, koji prikuplja sve zrake u jednom fokusu (dok su optička svojstva hiperboloida povezana sa rasipanjem zraka).

Takozvane hiperboloidne konstrukcije su veoma popularne u arhitekturi: to su strukture koje su ili hiperboloid sa jednom šupljinom ili hiperboličnog paraboloida u obliku. Činjenica je da samo ove površine rotacije drugog reda imaju pravolinijske generatore: tako se zakrivljena konstrukcija može izgraditi samo od ravnih greda. Prednosti takvih konstrukcija su sposobnost izdržavanja velikih opterećenja, na primjer, od vjetra: oblik hiperboloida koristi se u izgradnji visokih konstrukcija, na primjer, TV kula.