Površina krnjeg konusa. Formula i primjer problema

Figurama rotacije u geometriji posvećuje se posebna pažnja prilikom proučavanja njihovih karakteristika i svojstava. Jedan od njih je krnji konus. Ovaj članak ima za cilj odgovoriti na pitanje po kojoj se formuli može izračunati površina skraćenog konusa.

O kojoj ćemo figuri razgovarati?

Prije nego što opišemo područje krnjeg konusa, potrebno je dati tačnu geometrijsku definiciju ove figure. Skraćeni konus je konus koji se dobija kao rezultat izrezivanja vrha običnog konusa ravninom. U ovoj definiciji treba naglasiti brojne nijanse. Prvo, ravan presjeka mora biti paralelna s ravninom osnove konusa. Drugo, originalna cifra treba da bude kružni konus. Naravno, to može biti eliptični, hiperbolički i drugi tipovi oblika, ali u ovom članku ćemo se ograničiti na razmatranje samo kružnog konusa. Ovo posljednje je prikazano ispod na slici.

Lako je pretpostaviti da se može dobiti ne samo korištenjem avionske sekcije, već i korištenjem operacije rotacije. Da biste to učinili, uzmite trapez koji ima dva prava ugla i zakrenite ga oko strane koja je pored ovih pravih uglova. Kao rezultat toga, osnove trapeza će postati poluprečnici osnova skraćenog konusa, a bočna nagnuta strana trapeza će opisati konusnu površinu.

Rasklapanje oblika

S obzirom na površinu krnjeg konusa, korisno je njegov zamah, odnosno sliku površine trodimenzionalne figure dovesti u ravan. Ispod je skeniranje proučavane figure sa proizvoljnim parametrima.

Vidi se da površinu figure čine tri komponente: dva kruga i jedan krnji kružni segment. Očigledno, da bi se odredilo željeno područje, potrebno je zbrojiti površine svih navedenih figura. Riješimo ovaj problem u sljedećem paragrafu.

Površina krnjeg konusa

Da bismo lakše razumjeli sljedeće argumente, uvodimo sljedeću notaciju:

• r1, r2 su poluprečnici velike i male baze, respektivno;
• h je visina cifre;
• konus koji formira g (dužina nagnute strane trapeza).

Područje osnova skraćenog konusa lako je izračunati. Zapišimo odgovarajuće izraze:

S_o1 = pi * r₁²;

S_o2 = pi * r₂².

Područje dela kružnog segmenta je nešto teže odrediti. Ako zamislimo da centar ovog kružnog sektora nije izrezan, tada će njegov radijus biti jednak vrijednosti G. Nije teško izračunati ako uzmemo u obzir odgovarajuće slične pravougaoni trouglovi od konusa. To je jednako sa:

G = r₁*g / (r₁-r₂).

Zatim područje cijelog kružnog sektora, koje je izgrađeno na radijusu G i koje počiva na luku dužine 2 * pi * r₁, biće jednako:

S₁ = pi * r₁*G = pi * r₁²*g / (r₁-r₂).

Sada Definirajte područje malog kružnog sektora S₂, što će se morati oduzeti od S₁. To je jednako sa:

S₂ = pi * r₂* (G - g) = pi * r₂* (r₁*g / (r₁-r₂)- g) = pi * r₂²*g / (r₁-r₂).

Po ršina konusne krnje po ršine_b je jednako razlici S₁ i S₂. Dobijamo:

S_b = S₁ - S₂ = pi * r₁²*g / (r₁-r₂)- pi * r₂²*g / (r₁-r₂) = pi*g*(r₁+r₂).

Uprkos pomalo glomaznim proračunima, dobili smo prilično jednostavan izraz za površinu bočne površine figure.

Sabiranje područja baza i S_b, , dolazimo do Formule površine skraćenog konusa:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi * r₁² + pi * r₂² + pi* g*(r₁+r₂).

Dakle, za izračunavanje veličine S proučavane figure potrebno je znati njena tri linearna parametra.

Primjer zadatka

Kružni ravni konus radijusa 10 cm i visine 15 cm odrezan je ravninom tako da je dobijen običan krnji konus. Znajući da je udaljenost između osnova krnje figure 10 cm, potrebno je pronaći površinu njene površine.

Za korištenje formule skraćene površine konusa potrebno je pronaći tri njena parametra. Jedan znamo:

r₁ = 10 cm.

Druga dva je lako izračunati ako uzmemo u obzir slične pravougaone trouglove, koji se dobijaju kao rezultat aksijalnog preseka konusa. Uzimajući u obzir stanje problema, dobijamo:

r₂ = 10 * 5/15 = 3.33 cm.

Konačno, vodič za skraćeni konus g bit će jednak:

g = √(10² + (r₁-r₂)²) = 12.02 cm.

Sada možete zamijeniti vrijednosti r₁, r₂ I g u formulu za S:

S = pi * r₁² + pi * r₂² + pi*g*(r₁+r₂) = 851,93 cm².

Željena površina cifre je približno 852 cm².