Black-scholes formula: definicija, metode istraživanja i primjer proračuna

Istorija i suština

Na osnovu rada koji su prethodno razvili istraživači i praktičari tržišta kao što su Louis Bachelier, Shin Kassouf i Ed Thorpe, Fischer Black i Miron Scholes demonstrirali su kasnih 1960-ih da dynamic portfolio revizija eliminiše očekivani povratak sigurnosti.

1970. godine, nakon što su pokušali primijeniti formulu na tržišta i pretrpjeli finansijske gubitke zbog nedostatka upravljanja rizicima u svojim profesijama, odlučili su se fokusirati na svoju oblast, akademsko okruženje. Nakon tri godine truda, formula nazvana po njihovom proglašenju konačno je objavljena 1973. godine u članku pod naslovom "opcije cijena i korporativne obaveze" u Journal of Political Economy. Robert S. Merton je prvi objavio članak kojim se proširuje matematičko razumijevanje modela određivanja cijena opcija i skovao termin"model određivanja cijena Black–Scholes".

Za svoj rad, Merton i Scholes su 1997. dobili Nobelovu memorijalnu nagradu za ekonomske nauke, komitet navodeći da su otkrili dinamičku reviziju bez rizika kao proboj koji odvaja opciju od rizika osnovne sigurnosti. Uprkos činjenici da nagradu nije dobio zbog smrti 1995. godine, švedski akademik spomenuo je Blacka kao učesnika. Na slici ispod možete vidjeti tipičnu formulu za izračunavanje Black-Scholes.

Opcije

Glavna ideja ovog modela je zaštita opcije ispravnom kupovinom i prodajom osnovne imovine i, kao rezultat, eliminacijom rizika. Ovaj tip sigurnosne mreže se zove "stalno ažuriraju delta hedžing". To je osnova složenijih strategija, poput onih koje koriste investicione banke i hedž fondovi.

Upravljanje rizicima

Pretpostavke modela su ublažene i generalizovane u mnogim pravcima, što je dovelo do različitih modela koji se trenutno koriste u određivanju cijena derivata i upravljanju rizicima. Razumijevanje modela, kao što je prikazano u Black-Scholes formuli, često koriste učesnici na tržištu, za razliku od stvarnih cijena. Ove informacije uključuju odsustvo arbitražnih granica i bezrizičnih cijena (zbog stalne revizije). Osim toga, Black-Scholesova jednačina, parcijalna diferencijalna jednačina koja određuje cijenu opcije, omogućava određivanje cijena numeričkim metodama kada eksplicitna formula nije moguća.

Nestabilnost

Formula Black-Scholes ima samo jedan parametar koji se ne može direktno posmatrati na tržištu: Prosečna buduća volatilnost osnovnog sredstva, iako se može naći po ceni drugih opcija. Budući da se vrijednost parametra (bilo" put "ili" poziv") povećava u ovom parametru, može se preokrenuti kako bi se dobila "površina volatilnosti", koja se zatim koristi za kalibraciju drugih modela ,na primjer, OTC derivata.

Imajući na umu ove pretpostavke, pretpostavimo da se na ovom tržištu trguje i derivativnim vrijednosnim papirima. . Navodimo da će ova hartija od vrijednosti imati određenu isplatu na određeni datum u budućnosti, ovisno o vrijednosti koju je dionica prihvatila prije tog datuma. Iznenađujuće, cijena derivata je u potpunosti određena u ovom trenutku, iako ne znamo u kom pravcu će ići cijena dionica u budućnosti.

Za poseban slučaj Evropskog "poziv" ili "opcije" Black i Scholes su pokazali da je moguće stvoriti hedged poziciju koja se sastoji od duge pozicije na berzi i kratke pozicije u opciji, čija vrijednost neće zavisiti od cijene dionica. Njihova dinamička strategija hedžinga dovela je do parcijalne diferencijalne jednačine koja je odredila cijenu opcije. Njegovo rješenje daje formula Black-Scholes.

Razlika pojmova

Formula Black-Scholes za excel može se tumačiti prvim dijeljenjem "opcija poziva" u razliku od dvije binarne opcije. "Opcija poziva" razmjena cash za sredstvo po isteku, dok sredstvo poziva sa ili bez sredstva jednostavno daje sredstvo (bez gotovine u zamjenu), i "" bezgotovinski poziv jednostavno vraća novac (bez razmjene imovine). Black-Scholes formula za opciju je razlika dva pojma, a ova dva pojma su jednaka vrijednosti binarnih opcija poziva. Ove binarne opcije se prodaju mnogo rjeđe od opcija vanile, ali ih je lakše analizirati.

U praksi se neke vrijednosti osjetljivosti obično daju skraćeno da odgovaraju skali vjerovatnih promjena parametara. Na primjer, često se prijavljuje rho podijeljen sa 10000 (promjena za 1 baznu tačku), vega sa 100 (promjena za 1 zapreminsku tačku) i theta sa 365 ili 252 (pad od 1 dana na osnovu kalendarskih dana ili trgovačkih dana u godini).

Gore opisani model može se proširiti za varijabilne (ali determinističke) stope i volatilnost. Model se može koristiti i za procjenu evropskih opcija za instrumente plaćanja dividendi. U ovom slučaju, rješenja zatvorenog oblika dostupna su ako je dividenda poznati udio cijene dionice. Američke opcije i opcije dionica koje plaćaju poznatu novčanu dividendu (kratkoročno, realnije od proporcionalne dividende) teže je procijeniti, a dostupan je i izbor metoda rješenja (na primjer, mreže i mreže).

Korisna aproksimacija: iako volatilnost nije konstantna, rezultati modela često pomažu u uspostavljanju zaštite u pravim proporcijama za minimiziranje rizika. Čak i ako rezultati nisu potpuno tačni, oni služe kao prva aproksimacija na koju se mogu izvršiti prilagođavanja.

Osnova za naprednije modele: model Black-Scholes je robustan u smislu da se može prilagoditi da se nosi sa nekim svojim kvarovima. Umjesto da neke parametre (kao što su volatilnost ili Kamatne stope) posmatramo kao konstante, tretiramo ih kao varijable i tako dodajemo izvore rizika.

To se ogleda u Grcima (promjena vrijednosti opcije za promjenu od ovih parametara ili ekvivalentno parcijalne derivate ovih varijabli), a hedžing ovih Grka smanjuje rizik uzrokovan nestalnom prirodom ovih parametara. Međutim, drugi nedostaci se ne mogu ukloniti promjenom modela, posebno rizik repa i rizik likvidnosti, a umjesto toga se njima upravlja izvan modela, uglavnom minimiziranjem ovih rizika i stresnim testiranjem.

Eksplicitno modeliranje

Eksplicitno modeliranje: Ova funkcija znači da umjesto da pretpostavljate volatilnost a priori i izračunavate cijene iz nje, možete koristiti model za određivanje volatilnosti, što daje podrazumijevanu volatilnost opcije po određenim cijenama, uslovima i cijenama izvršenja. Rješavanjem volatilnosti tokom određenog skupa trajanja štrajka i cijena, moguće je izgraditi površinu implicitne volatilnosti.

U ovoj primjeni modela Black-Scholes dobiva se transformacija koordinata iz regije cijena u regiju volatilnosti. Umjesto navođenja cijena opcija u dolarima po jedinici (koje je teško usporediti štrajkovima, trajanjem i učestalošću kupona), cijene opcija mogu se odrediti u smislu podrazumijevane volatilnosti, što dovodi do volatilnosti trgovine na tržištima opcija.