Koncept ugaonog ubrzanja. Formule kinematike i dinamike rotacije. Primjer zadatka

Rotacija tijela je jedna od važnih vrsta mašinskog kretanja u inženjerstvu i prirodi. Za razliku od linearnog pomaka, on je opisan vlastitim skupom kinematičkih karakteristika. Jedan od njih je ugaono ubrzanje. Ovu vrijednost ćemo okarakterizirati u članku.

Pokret rotacije

Prije razgovaramo o ugaonom ubrzanju, hajde da opišemo vrstu kretanja na koju se ono primjenjuje. Govorimo o rotaciji, a to je kretanje tijela duž kružnih putanja. Da bi došlo do rotacije, moraju biti ispunjeni određeni uslovi:

• prisustvo ose ili tačke rotacije;
• prisutnost centripetalne sile koja bi držala tijelo u kružnoj orbiti.

Primjeri ove vrste kretanja su razne atrakcije, kao što je vrtuljak. U tehnologiji, rotacija se manifestuje kada se točkovi i osovine pomeraju. U prirodi, najupečatljiviji primjer ovog tipa kretanja je rotacija planeta oko sopstvene ose i oko Sunca. Ulogu centripetalne sile u ovim primjerima igraju sile međuatomske interakcije u čvrstim materijama i gravitacione interakcije.

Kinematičke karakteristike rotacije

Ove karakteristike uključuju tri vrijednosti: ugaono ubrzanje, ugaonu brzinu i ugao rotacije. Označit ćemo ih grčkim simbolima α, ω i θ, respektivno.

Budući da se tijelo kreće u krug, prikladno je izračunati ugao θ za koji će se okrenuti u određenom vremenu. Ovaj ugao se izražava u radijanima (rjeđe u stepenima). Budući da krug ima 2 × pi radijana, možemo napisati jednakost koja se odnosi θ na dužinu Luka L rotacije:

L = θ × r

Gdje je r radijus rotacije. Ovu formulu nije teško dobiti ako se prisjetite odgovarajućeg izraza za obim.

Ugaona brzina ω, kao i njegov linearni analog, opisuje brzinu rotacije oko ose, odnosno određuje se prema sljedećem izrazu:

ω = d θ / d t

Vrijednost ω je vektorska. Usmeren je duž ose rotacije. Jedinica za njegovo mjerenje je Radijan u sekundi (rad/s).

Konačno, ugaono ubrzanje je fizička karakteristika koja određuje brzinu promjene vrijednosti ω, koja se matematički zapisuje kao:

α = d ω / d t

Vektor α je usmjeren prema promjeni vektora brzine ω. Dalje će se reći da je ugaono ubrzanje usmjereno prema vektoru momenta sile. Ova vrijednost se mjeri u radijanima po kvadratnoj sekundi (rad/s²).

Trenutak sile i ubrzanja

Ako se prisjetimo Newtonovog zakona, koji veže silu i linearno ubrzanje u jednu jednakost, onda, prenoseći ovaj zakon u slučaj rotacije, možemo napisati sljedeći izraz:

M = i × α

Ovdje je M moment sile, koji je proizvod sile koja teži da odvije sistem, na poluzi-udaljenost od tačke primjene sile do ose. Vrijednost i je analogna masi tijela i naziva se moment inercije. Napisana formula naziva se jednačina trenutaka. Iz njega se ugaono ubrzanje može izračunati na sljedeći način:

α = M / i

Pošto je i skalar, α je uvek usmerena ka efektivnom momentu sile M. Smjer M određuje se pravilom desne ruke ili pravilom gimleta. Vektori M I α su okomiti na ravan rotacije. Što je veći moment inercije koji tijelo ima, to je manja vrijednost ugaonog ubrzanja u stanju da informiše sistem o fiksnom momentu M.

Kinematičke jednačine

Da bismo razumjeli važnu ulogu koju ugaono ubrzanje igra u opisu kretanja rotacije, zapisujemo formule koje povezuju kinematičke veličine koje su gore proučavane.

U slučaju jednako udaljene rotacije , važeći su sljedeći matematički odnosi:

ω = α × t;

θ = α × t² / 2

Prva formula pokazuje da će se ugaona brzina vremenom povećavati prema linearnom zakonu. Drugi izraz vam omogućava da izračunate ugao pod kojim će se tijelo okrenuti u poznatom. Graf funkcije θ (t) je parabola. U oba slučaja, ugaono ubrzanje je konstanta.

Ako koristimo formulu odnosa između L i θ datu na početku članka, tada možemo dobiti izraz za α linearnim ubrzanjem a:

α = a / r

Ako je α konstantna, onda kako se rastojanje od ose rotacije R povećava, linearno ubrzanje a će se proporcionalno povećavati. Zato se za rotaciju koriste ugaone Karakteristike, Za razliku od linearnih, ne mijenjaju se s povećanjem ili smanjenjem r.

Primjer zadatka

Metalna osovina, rotirajući na frekvenciji od 2.000 revolucija u sekundi, počela je usporavati svoje kretanje i potpuno se zaustavila nakon 1 minute. Potrebno je izračunati s kojim se kutnim ubrzanjem odvijao proces kočenja osovine. Također biste trebali izračunati broj obrtaja koje je osovina napravila prije zaustavljanja.

Proces usporavanja rotacije opisan je sljedećim izrazom:

ω = ω₀ - α × t

Početna ugaona brzina ω₀ određuje se kroz frekvenciju rotacije f na ovaj način:

ω₀ = 2 × pi × f

Pošto znamo vrijeme kočenja, onda dobijamo vrijednost ubrzanja α:

α = ω₀ / t = 2 × pi × f / t = 209.33 rad / s²

Ovaj broj treba uzeti sa znakom minus, jer govorimo o kočenju sistema, a ne njegovom ubrzanju.

Da bismo odredili broj obrtaja koje će osovina napraviti tokom kočenja, primenjujemo izraz:

θ = ω₀ × t-α × t² / 2 = 376 806 rad.

Rezultirajuća vrijednost ugla rotacije θ u radijanima jednostavno se prevodi u broj okretaja koje napravi osovina sve dok se potpuno ne zaustavi jednostavnim dijeljenjem sa 2 × pi:

n = θ / (2 × pi) = 60 001 revolucija.

Tako smo dobili sve odgovore na pitanja problema: α = -209,33 rad / s², n = 60 001 revolucije.