Maxwellov zakon. Maxwell ' s velocity distribution

Proučavanje svojstava agregatnog stanja materije gasa jedan je od važnih pravaca moderne fizike. Razmatranjem gasova na mikroskopskoj skali moguće je dobiti sve makroskopske parametre sistema. Ovaj članak će se baviti važnim pitanjem molekularno-kinetičke teorije gasova.: koja je Maxwellova distribucija molekula po brzinama.

Istorijska skica

Ideja gasa kao sistema koji se sastoji od mikroskopskih pokretnih čestica nastala je u staroj Grčkoj. Nauci je trebalo više od 1.700 godina da je razvije.

Daniil Bernoulli s pravom se smatra osnivačem moderne molekularne kinetičke teorije (MCT) plina. Godine 1738. objavio je djelo pod nazivom "Hidrodinamike". U njemu je Bernoulli iznio ideje MCT-a koje su se do sada koristile. Dakle, naučnik je vjerovao da se plinovi sastoje od čestica koje se haotično kreću u svim smjerovima. Brojni sudari čestica sa zidovima posuda doživljavaju se kao prisustvo pritiska u gasovima. Brzine čestica su usko povezane sa temperaturom sistema. Naučna zajednica nije prihvatila Bernoullijeve hrabre ideje, jer zakon održanja energije još nije uspostavljen.

Nakon toga, mnogi naučnici su bili angažovani na izgradnji kinetičkog modela gasova. Među njima treba istaći Rudolfa Clausiusa, koji je 1857. godine stvorio jednostavan model gasa. U njemu je naučnik posebnu pažnju posvetio prisustvu translacionog, rotacionog i vibracionog stepena slobode u molekulima.

Godine 1859, proučavajući Clausiusovo djelo, James Maxwell je formulirao takozvanu Maxwellovu distribuciju nad brzinama molekula. U stvari, Maxwell je potvrdio ideje MCT-a, pojačavajući ih matematičkim aparatima. Nakon toga, Ludwig Boltzmann (1871) je generalizirao Maxwellove zaključke distribucije. On je postulirao opštiju statističku distribuciju molekula po brzinama i energijama. Trenutno je poznata kao Maxwell-Boltzmannova distribucija.

Idealni gas. Glavni postulati MKT-a

Da bismo razumjeli šta je Maxwell funkcija distribucije, potrebno je jasno razumjeti sisteme za koje je ova funkcija primjenjiva. Govorimo o idealnom gasu. U fizici se ovaj koncept shvata kao fluidna supstanca, koja se sastoji od gotovo bezdimenzionalnih čestica bez potencijalne energije. Ove čestice se kreću velikom brzinom, pa je njihovo ponašanje u potpunosti određeno kinetičkom energijom. Štaviše, udaljenosti između čestica su prevelike u poređenju sa njihovim veličinama, pa su potonje zanemarene.

Idealni plinovi opisani su u okviru MKT-a. Njegovi glavni postulati su sljedeći:

• gasni sistemi se sastoje od ogromnog broja slobodnih čestica;
• čestice se nasumično kreću različitim brzinama u različitim smjerovima duž pravih putanja;
• čestice se elastično sudaraju sa zidovima posuda (vjerovatnoća sudara čestica jedna s drugom je mala, zbog njihove male veličine);
• temperatura sistema je jedinstveno određena prosječnom kinetičkom energijom čestica, koja se vremenom čuva u slučaju termodinamičke ravnoteže u sistemu.

Maxwellov zakon distribucije

Kada bi osoba imala uređaj pomoću kojeg je bilo moguće izmjeriti brzinu jednog molekula gasa, tada bi se, nakon provođenja odgovarajućeg eksperimenta, iznenadila. Eksperiment bi pokazao da se svaki molekul bilo kog gasnog sistema kreće potpuno proizvoljnom brzinom. At , istovremeno, i veoma spori i veoma brzi molekuli bi se detektovali u okviru jednog sistema u toplotnoj ravnoteži sa okolinom.

Maxwellov zakon raspodjele brzina molekula plina alat je za određivanje vjerovatnoće otkrivanja čestica sa datom brzinom v u sistemu koji se proučava. Odgovarajuća funkcija izgleda ovako:

f (v) = (m / (2 * pi*k * T))^3/2* 4 * pi * v²* exp (- m * v²/(2 * k * T)).

U ovom izrazu, m je masa čestice (molekula), k je Boltzmannova konstanta, T - je apsolutna temperatura. Dakle, ako je poznata hemijska priroda čestica (vrijednost m) , tada je funkcija f(v) jedinstveno određena apsolutnom temperaturom. Funkcija f (v) naziva se gustoća vjerovatnoće. Ako iz njega uzmemo integral za određenu granicu brzine (v; v+dv), tada dobijamo broj čestica N_i, koje imaju brzine u navedenom intervalu. Shodno tome, ako uzmemo integral gustine vjerovatnoće f (v) za granice brzine od 0 do∞, tada ćemo dobiti ukupan broj molekula N u sistemu.

Grafički prikaz gustine vjerovatnoće f (v)

Funkcija gustoće vjerovatnoće ima donekle složen matematički oblik, pa nije lako zamisliti njeno ponašanje na datoj temperaturi. Ovaj problem možete riješiti ako ga prikažete na dvodimenzionalnom grafikonu. Šematski prikaz maxwellovog grafikona distribucije prikazan je ispod na slici.

Vidimo da počinje od nule, jer brzina v molekula ne može imati negativne vrijednosti. Grafikon završava negdje u području velikih brzina, glatko padajući na nulu (f (∞)->0). Sljedeća karakteristika također upada u oči: glatka kriva je asimetrična, oštrije se smanjuje za male vrijednosti brzina.

Važna karakteristika ponašanja funkcije gustine vjerovatnoće f (v) je prisustvo jednog izraženog maksimuma na njoj. Prema fizičkom značenju funkcije, ovaj maksimum odgovara najvjerovatnijoj vrijednosti brzina molekula u plinskom sistemu.

Važni tipovi brzine za funkciju f (v)

Funkcija gustine vjerovatnoće f (v) i njen grafički prikaz omogućavaju definiranje tri važne vrste brzine.

Prva vrsta brzine, koja je očigledna i koja je gore pomenuta, je najvjerovatnija brzina v1. Na grafikonu njegova vrijednost odgovara maksimumu funkcije f (v). , to je ta brzina i vrijednosti blizu nje da većina čestica sistema će imati. Nije ga teško izračunati, za to je dovoljno uzeti prvi izvod brzine funkcije f (v) i izjednačiti ga sa nulom. Kao rezultat ovih matematičkih operacija, dobijamo konačni rezultat:

v₁ = √(2 * R * T / M).

Ovdje je R univerzalna gasna konstanta, M molarna masa molekula.

Drugi tip brzine je njegova prosječna vrijednost za sve N čestica. Označimo to v₂. Može se izračunati ako integriramo funkciju v * f (v) za sve brzine. Rezultat označene integracije biće sljedeća formula:

v₂ = √(8 * R * T/(pi * M)).

Pošto je odnos 8 / pi>2, tada je prosečna brzina uvek nešto veća od najverovatnije.

Svaka osoba koja je malo upoznata sa fizikom razumije da prosječna brzina v₂ molekula bi trebalo da bude od velike važnosti u gasnom sistemu. Međutim, ovo je pogrešna presuda. Mnogo je važnija prosječna kvadratna brzina. Označimo to v₃.

Po definiciji, prosječna kvadratna brzina je zbir kvadrata pojedinačnih brzina od svih čestica, podijeljeno s brojem ovih čestica i uzeto pod kvadratni korijen. Može se izračunati za Maxwellovu distribuciju ako odredimo integral nad svim brzinama iz funkcije v²* f (v). Formula za prosječnu kvadratnu brzinu poprima oblik:

v₃ = √(3 * R * T / M).

Jednakost pokazuje da je ta brzina veća od vrijednosti v₂ i v₁ za bilo koji gasni sistem.

Dakle, sve razmatrane vrste brzina na maxwellovom grafikonu distribucije leže ili na ekstremu ili desno od njega.

Važnost v3 vrijednosti

Gore je napomenuto da je prosječna kvadratna brzina važnija za razumijevanje fizičkih procesa i svojstava gasnog sistema od jednostavne prosječne brzine v₂. To je tačno, jer kinetička energija idealnog gasa zavisi upravo od veličine v₃, a ne od v₂.

Ako uzmemo u obzir jednoatomski idealni plin, onda za njega vrijedi sljedeći izraz:

m * v₃²/2 = 3/2 * k * T.

Ovdje svaki dio jednakosti predstavlja kinetičku energiju jedne čestice mase m. Zašto je vrijednost v_{3 u izrazu}, a ne prosječna brzina v₂? Vrlo jednostavno: prilikom određivanja kinetičke energije svake čestice, njena pojedinačna brzina v je kvadratna, zatim se sve brzine dodaju i dijele sa brojem čestica N. Odnosno, sama procedura za određivanje kinetičke energije dovodi do vrijednosti prosječne kvadratne brzine.

Zavisnost funkcije f (v) od temperature

Gore smo utvrdili da gustina vjerovatnoće brzina molekula jedinstveno ovisi o temperaturi. Kako će se funkcija promijeniti ako po ećate ili smanjite? Grafikon ispod će vam pomoći da odgovorite na ovo pitanje.

Može se vidjeti da grijanje zatvorenog sistema dovodi do razmazivanja vrha i njegovog pomjeranja prema većim brzinama. Povećanje temperature dovodi do povećanja svih vrsta brzina i smanjenja gustine vjerovatnoće svake od njih. Vršna vrijednost se smanjuje uslijed očuvanja broja čestica N u zatvorenom sistemu.

Zatim ćemo riješiti nekoliko problema za konsolidaciju dobivenog teorijskog materijala.

Problem sa molekulima azota u vazduhu

Neophodno je izračunati_{velocities v1}, _v2 i_v3 za vazdušni azot na temperaturi od 300 K (oko 27 ° C).

Molarna masa_{azota N2} is 28 g / mol. Koristeći gore navedene formule, dobijamo:

_v1 = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m/s;

v₂ = √(8 * R * T / (pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m/s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 m/s.

Problem sa rezervoarom kiseonika

Kiseonik u balonu bio je na određenoj temperaturi₁. Onda je balon postavljen u hladniju sobu. Kako će se Maxwellov grafikon distribucije brzine promijeniti za molekule kiseonika kada sistem dođe do termodinamičke ravnoteže?

Sjećajući se teorije, na pitanje problema možemo odgovoriti ovako: vrijednosti svih vrsta brzina molekula će se smanjiti, vrhunac funkcije f (v) će se pomjeriti lijevo, postati uži i viši.