Formula volumena prizme. Zapremine pravilnih četvorougaonih i šesterokutnih oblika

Prizma je poliedar ili poliedar koji se izučava u školskom kursu stereometrije. Jedno od važnih svojstava ovog poliedra je njegov volumen. Razmotrimo u članku Kako se ova vrijednost može izračunati, a također dajemo formule za zapreminu prizmi - pravilnih četverokutnih i heksagonalnih.

Prizma u stereometriji

Ova figura se shvata kao poliedar, koji se sastoji od dva identična poligona smještena u paralelnim ravninama i od nekoliko paralelograma. Za određene vrste prizmi, paralelogrami mogu predstavljati pravougaone četverokute ili kvadrate. Primjer takozvane peterokutne prizme prikazan je u nastavku.

Da biste izgradili cifru kao na gornjoj slici, morate uzeti pentagon i nositi ga paralelno na određenu udaljenost u prostoru. Spajanjem stranica dva peterokuta pomoću paralelograma dobijamo željenu prizmu.

Svaka prizma sastoji se od lica, vrhova i ivica. Vrhovi prizme, za razliku od piramide, jednaki su, svaki od njih pripada jednoj od dvije baze. Postoje dvije vrste lica i ivica: one koje pripadaju osnovama i one koje pripadaju stranama.

Prizme su nekoliko vrsta (pravilne, nagnute, konveksne, ravne, konkavne). Razmotrit ćemo dalje u članku po kojoj formuli se izračunava volumen prizme, uzimajući u obzir oblik figure.

Opšti izraz za određivanje zapremine prizme

Bez obzira kojem tipu pripada proučavana figura, bilo da je ravna ili kosa, , tačno ili netačno, postoji univerzalni izraz koji vam omogućava da odredite njegovu zapreminu. Zapremina prostorne figure je površina prostora koja je zatvorena između njenih lica. Opća formula za volumen prizme izgleda ovako:

V = S_o × h.

Ovdje S_o predstavlja područje baze. Treba imati na umu da govorimo o tačno jednoj podlozi, a ne o dvije. Vrijednost h je visina. Visina proučavane figure podrazumijeva se kao udaljenost između njenih identičnih osnova. Ako se ova udaljenost podudara s dužinama bočnih ivica, tada govore o pravoj prizmi. U pravoj figuri, sve strane su pravougaonici.

Dakle, ako je prizma nagnuta i ima nepravilan poligon u osnovi, tada izračunavanje njegove zapremine postaje komplikovanije. Ako je cifra ravna, tada se proračun zapremine smanjuje samo na određivanje površine baze s_o.

Određivanje zapremine tačne figure

Svaka prizma koja je ravna i ima poligonalnu osnovu sa jednakim stranicama i uglovima naziva se ispravnom. Na primjer, takvi pravilni poligoni su kvadrat i jednakostranični trokut. Istovremeno, romb nije ispravna figura, jer nisu svi njegovi uglovi jednaki jedan drugom.

Formula za zapreminu prizme je tačna jasno slijedi iz općeg izraza za V, koji je napisan u prethodnom stavku članka. Prije nego što prijeđete na pisanje odgovarajuće formule, potrebno je odrediti površinu tačne baze. Ne ulazeći u matematičke detalje, evo formule za određivanje navedene površine. Univerzalna je za bilo koji običan n-ugao i ima sljedeći oblik:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × A².

Kao što se može vidjeti iz izraza, područje S_n - je funkcija dva parametra. Cijeli broj n može imati vrijednosti od 3 do beskonačnosti. Vrijednost a je dužina strane n-ugla.

Da biste izračunali zapreminu figure, potrebno je samo pomnožiti površinu S_n po visini h ili po dužini bočne ivice b (h=b). Kao rezultat toga, dolazimo do sljedeće radne formule:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × A² × h.

Imajte na umu da je za određivanje volumena prizme proizvoljnog tipa potrebno znati nekoliko veličina (dužine stranica baze, visina, diedarski uglovi slike), za izračunavanje vrijednosti V pravilne prizme, moramo znati samo dva linearna parametra, na primjer, a i h.

Volumen prizme je četverougaoni pravilan

Četverokutna prizma naziva se paralelepiped. Ako su mu sva lica jednaka i predstavljaju kvadrate, tada će takva figura biti kocka. Svaki učenik zna da se zapremina pravougaonog paralelepipeda ili kocke određuje množenjem njegove tri različite stranice (visina i širina dužine). Ova činjenica proizlazi iz zabilježenog općeg izraza volumena za ispravnu figuru:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × A² × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a² × h = a² × h.

Ovdje je kotangens sa 45° 1. Imajte na umu da jednakost visine h i dužine stranice baze a automatski dovodi do Formule zapremine kocke.

Zapremina šestougaone pravilne prizme

Sada primijenimo gore opisanu teoriju da odredimo volumen figure s šesterokutnom bazom. Da biste to učinili, samo zamijenite vrijednost n = 6 u Formuli:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

pisani izraz može se dobiti nezavisno bez upotrebe univerzalne formule za S_n. Da biste to učinili, morate podijeliti pravilan šesterokut na šest jednakostraničnih trouglova. Strana svakog od njih biće jednaka a. Površina jednog trougla odgovara:

S₃ = √3/4 × a².

Množenjem ove vrijednosti s brojem trokuta (6) i visinom dobijamo formulu za volumen napisanu iznad.