Diferencijacija i integracija: definicija, koncept, oblici

Diferencijacija i integracija su jednačina koja sadrži derivate. Ovi drugi, ako se pridržavamo matematičkih svojstava, podijeljeni su na obične i privatne. Derivati predstavljaju brzinu promjene, a diferencijalna jednačina opisuje odnos između veličine koja se stalno mijenja u procesu rješavanja, formirajući nove varijable.

Univerzitetski profesor može lako da se kreće kroz složene operacije sa integralima, da ih pretvori u jednu celinu, a zatim da dokaže račun inverznom metodom. Međutim, mogućnost brzog opoziva detalja složenih formula nije dostupna svima, pa se preporučuje da osvježite pamćenje ili otkrijete novi materijal.

Značenje i glavna primena

U naučnoj literaturi izvedenica je definirana kao stopa podložna transformaciji funkcije na osnovu jedne od njenih varijabli. Diferencijacija je suština računa, koja se može uporediti sa početkom potrage za tangentom do tačke. Kao što znate, ovaj drugi ima različite tipove i zahtijeva računarske formule za pretragu. Pretpostavimo da morate pronaći nagib tangente na grafikon u tački P. Kako to učiniti? Dovoljno je nacrtati traku u obliku luka kroz označeni predmet i podići je dok ne dobijemo podijeljenu liniju.

Funkcija f u x naziva se diferencijabilna u tački x = a ako izvod f `(a) postoji na svakoj oznaci svog domena. Pokažimo primjer:

f`(A) = lim (h=0) × F(A + h) - f(A) / h

Da bi jednačina bila diferencirana i integrisana funkcija tako da njena lokacija postane moguća u bilo kojoj tački x, ne treba je prekidati. Nakon što ste unaprijed napravili shematsku sliku, moći ćete potvrditi validnost izjave. Iz tog razloga je domen f `(x) određen postojanjem njegovih granica.

Pretpostavimo da je y = f (x) funkcija od x, tada je izvod f( x) dat kao dy/dx. Takođe se definiše kao linearna jednačina, gde je potrebno pronaći potrebne podatke za y.

Međutim, ako u prvom slučaju tražimo izvedenicu od y, onda u sljedećem moramo pronaći f (x) od x.

d / DX × (f (x)) la ili df / dx la

stoga je oznaka brzine promjene funkcije f (x) u odnosu na x u tački a koja leži na njenim površinama.

Ako znamo izvod f` koji je diferencijabilan u svom domenu, tada možemo pronaći njegovu vrijednost f. U integralnom kalkulusu nazivamo f Anti-derivacijom ili primitivom funkcije f `. Metoda njegovog izračunavanja poznata je kao antidiferencijacija ili integracija.

Vrste i oblici

Jednačina s jednim ili više članova koja uključuje derivate zavisne varijable nad nezavisnom poznata je kao diferencijal. Drugim riječima, sastoji se od skupa numeričkih vrijednosti, običnih ili posebnih, koje prolaze kroz promjene u procesu rješavanja.

Trenutno postoje sljedeće vrste diferencijalnih jednačina.

Obični. Jednostavna jednakost koja direktno zavisi od varijable:

dy / dx + 5x = 5y

Parcijalne izvedenice:

dy / dx + dy / dt = x3-t3

d2y / DX2 - c2 × d2y/dt2

Viši koeficijent. Ovaj tip karakteriše učešće u redosledu diferencijalne jednačine, kao što je prikazano u donjem primeru, gde je jednako 3. Broj se smatra najvišim od prisutnih:

d3y / DX2 + 5 × dy / dx + y = √x

Funkcije mogu imati nekoliko tipova, Međutim, poželjno je koristiti jedan navodnik s karakterističnim formulama integracije i diferencijacije.

y ` = dy/dx

y " = d2y / DX2

y "` = d3y / DX3

Linija. Varijabla koja se pojavljuje u jednačini je podignuta na Stepen Jedan. Grafikon ove vrste funkcije obično je ravna linija. Na primjer, (3x + 5), ali (x³ + 4x²) ne pripada ovom tipu, jer zahtijeva drugačije rješenje.

dy / dx + xy = 5x

Nelinearni. Svaka integracija i diferencijacija serija sa dvostrukim načinima postizanja jednakosti-pripadaju obliku koji se razmatra:

d2y / DX2- ln y = 10

Metode za brzo postizanje rezultata

Nije dovoljno uzeti u obzir formu da biste shvatili kako se nositi i primijeniti stečeno znanje u praksi. Trenutno postoji nekoliko načina za rješavanje diferencijalne jednačine.

Ovo je ... :

1. Razdvajanje varijabli. Izvršava se kada se primer može predstaviti kao dy / dx = f(y) g (x). Posebnost je u tome što su f I g funkcije koje pripadaju njihovim vrijednostima. Zbog toga, zadatak treba da se transformiše: 1/ f (y) dy = g (x) dx. I tek onda prijeđite na sljedeću stavku.
2. Integrirajući faktor metoda. Koristi se kada primjer ima oblik dy/ dx + p (x) y = q (x), gdje su p i q funkcije samo od x.

Diferencijalna računanja prvog reda izgledaju kao y ` + P (x) y = Q( x), jer sadrže potrebne funkcije i derivaciju y. Naknadni porast imena djeluje na istom principu. Na primjer, izvedenice nepoznate funkcije mogu se pokazati i privatnim i običnim.

Neodređeni integrali

Ako vam je data brzina bicikla kada ste išli u šetnju, ovisno o vremenu - hoćete li moći izračunati prijeđenu udaljenost koristeći podatke o utrošenim minutima? Ovaj zadatak izgleda kao nepodnošljiv teret, ali integrali će vam pomoći da se što efikasnije nosite sa ovim svojstvima, postižući rezultat.

Naučna literatura fokusira se na činjenicu da su oni obrnuta strana diferencijacije. Zaista, integracija je metoda sabiranja stvari. Povezuje komade zajedno, stvarajući nešto novo-cjelinu. Glavna stvar u bilo kojem sličnom primjeru je pronaći neodređene integrale i provjeriti rezultate integracije diferencijacijom. To će pomoći u izbjegavanju nepotrebnih grešaka.

Ako ćete tražiti područje bilo koje nasumične krive, na primjer, y=f (x), tada upotrijebite dotičnu metodu. Imajte na umu da će vas samo pažnja spasiti od greške.

Formule za rješavanje

Dakle, nakon što smo se upoznali sa osnovnim konceptom diferencijacije i integracije - inverznim računanjem kroz funkcije, potrebno je ukratko razmotriti neke osnove. Oni su navedeni u nastavku.

Osnovna pravila obračuna

Integrisane funkcije kao što je f (x) mogu se lako prevesti u jednakost ako jednačinu predstavimo kao: ∫ f (x) dx = F (x) + C.

Ovdje se F (x) naziva anti-derivativni ili primitivni. F (x) - integrand funkcija. dx-djeluje kao dodatni numerički agens. C je integrisana ili proizvoljna konstanta. x-djela u zavisnosti od strane jednakosti.

Iz gornje izjave može se zaključiti da su Integracija i diferencijacija serija dva suprotna procesa jedan od drugog. Zajedno djeluju kao jedna od vrsta operacija koje imaju za cilj dobijanje konačnog rezultata izvedenog na samoj jednačini.

Sada kada znamo više o karakteristikama kalkulusa, preporučuje se da se istaknu dominantne razlike, neophodno za dalje razumijevanje:

1. Diferencijacija i integracija mogu istovremeno zadovoljiti pravila linearnosti.
2. Operacije imaju za cilj pronalaženje najtačnijeg rješenja, međutim, pretpostavljaju ograničenja za svoju definiciju.
3. Prilikom razlikovanja polinomskog primjera, rezultat je 1 manji od stepena funkcije, dok se u slučaju integracije rezultirajući rezultat pretvara u drugi, djelujući prema suprotnoj shemi.
4. Dvije vrste rješenja, kao što je ranije spomenuto, suprotne su jedna drugoj. Izračunavaju se formulama integracije i diferencijacije.
5. Derivacija bilo koje funkcije je jedinstvena, ali, s druge strane, dva integrala, u jednom primjeru, mogu se razlikovati za konstantu. Upravo ovo pravilo predstavlja glavnu poteškoću tokom izvršavanja zadataka.
6. Kada se radi o derivatima, možemo uzeti u obzir derivate u tački. Gotovo kao u integralima, oni pružaju funkcije u intervalu.
7. Geometrijski, derivacija opisuje brzinu promjene veličine u odnosu na drugu, dok neodređeni integral predstavlja krivulju. Postavljen je u paralelnom smjeru, a također ima tangente tokom presjeka neravnih linija s drugima ortogonalnim prema osi koja predstavlja varijablu.

Metode sabiranja

Ako ste suočeni s problemom primjene zbrajanja za matematičke operacije diferencijacije i integracije, trebali biste se pažljivo upoznati s osnovnim formulama. Oni su aksiom u nastavi, pa se koriste svuda. Imajte na umu da su tokom aplikacije na vlastitim primjerima formule tačne samo ako počnu sa i = 1.

Rješavanje "u dijelovima"

Ponekad funkcija zahtijeva nestandardni pristup da bi došla do konačnog rezultata i zadovoljila uslove jednakosti. Usmjerena integracija i diferencijacija serija temelji se na identitetu koji se izražava kao: ∫ f(x) g`(x) dx = f (x) g (x) - ∫ F`(x) g (x) dx

Algoritam razmatrane tehnike izgleda ovako:

1. Izrazite integrisanu funkciju kao proizvod dva izraza. Označimo jedan od njih f (x), drugi g `(x).
2. Sada nastavite s identificiranjem druge dvije formule koje se mogu primijeniti prilikom izvođenja prvog odlomka. Red će se promijeniti. Razlikovanjem, transformišemo f`(x) da dobijemo izraze f (x). , Pređite na drugi deo-g(x) je integrisan u g`(x). Istovremeno, dx ostaje u svom originalnom obliku i ne koristi se.
3. Umetnite rezultirajuće izraze u formulu u dijelovima. Ovo je kraj procedure, a sada možete pokušati da procenite novi integral sa desne strane, jer je postao mnogo lakši za razumevanje.

Ranije je ova metoda uključivala integraciju u dijelove pomoću matrice. Metoda je bila uspješna, ali je trebalo dosta vremena, jer se sada koristi rjeđe, u posebnim slučajevima kada je gotovo nemoguće pronaći rješenje. Da biste to učinili, dovoljno je staviti f I g `u prvi red i izračunati f` I g u drugi.

Zašto nam je potrebna integracija u dijelovima?

Situacije se dešavaju drugačije. Ponekad se rješenja pokažu mnogo složenijima nego na prvi pogled. Stoga je potrebno istaknuti glavne probleme koji se često javljaju sa sporom integracijom i diferencijacijom serija snage. Razmotrimo dva osnovna pravila.

Prvo, dio koji namjeravamo integrirati, odnosno onaj odabran za g `(x), moramo biti u mogućnosti transformirati. Važno je to učiniti što je brže moguće. Činjenica je da složena integracija za g rijetko dovodi do poboljšanog integrala, povećavajući složenost. Sve to negativno utiče na slobodu naših postupaka tokom odluka, a zavisi i od stepena, sinusa i kosinusa. Neka potraga za pravim odgovorom traje, ali to će dovesti do desnog, a ne zbunjujuće.

Drugo, sve ostalo, odnosno dio koji namjeravamo razlikovati i označiti F, trebao bi se primjetno istaknuti nakon transformacije. Nakon jednostavne procedure, primetićemo da će novi integral biti pojednostavljen od prethodnika.

Dakle, kada spojimo dva pravila i koristimo ih u rješavanju, dobijamo priliku da koristimo diferencijaciju i integraciju funkcija moći, što ima smisla uzeti u obzir u dijelovima.

Postoji i način uklanjanja x, koji vam omogućava efikasno korištenje transformacija u različitim situacijama. Na primjer, možemo se lako integrirati množenjem funkcije polinomom, koji smanjujemo razlikovanjem.

∫ x2 sin (3x) dx

∫ x7 cos (x)dx

∫x4 e4x dx

Kao f, uzimamo snagu x (općenito, polinom), a također koristimo g`. Očigledno, svaka diferencijacija smanjuje stepen broja za jedan, stoga, ako je u primjeru dovoljno visok, primijenite sporu integraciju nekoliko puta. Ovo će pomoći da se smanji vrijeme.

Složenost nekih jednačina

U ovom slučaju govorimo o diferencijaciji i integraciji serija snage. Funkcija se može posmatrati kao da je x-domen intervala konvergencije tačaka. Međutim, metoda nije pogodna za sve. Činjenica je da se bilo koje funkcije mogu izraziti u obliku niza stepena, transformišući se u linearnu strukturu i obrnuto.

Na primjer, s obzirom na e_x. Možemo to izraziti kao jednačinu, koja je zapravo samo beskonačni polinom. Seriju snage je lako uočiti izračunavanjem, ali nije uvijek efikasna.

Određeni integral kao granica zbira

Pogledajte sljedeću grafičku integraciju i diferencijaciju.

Da biste lako razumjeli složenu funkciju, dovoljno ju je temeljito razumjeti. Procijenimo PRSQP područje između krive y = f (x), X ose i koordinata "x = a" i "x = b". Sada podijelite interval [A, b] na` n ` jednake podintervale, označene na sljedeći način: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]…. [xn - 1 , xn ].

Gdje x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h.. .. xr = a + rh i xn = b = a + nh ili n = (b-A) / h. (1). Imajte na umu da za n → ∞ h → 0.

Razmatrani prostorni PRSQP je zbir svih" n " poddomena, gdje je svaka definirana na određenoj osrednjosti [x_r-1 , x_r ], r = 1, 2, 3... n. Sa pravim pristupom, ove funkcije se mogu razlikovati i integrisati za brzo rešenje.

Sada pogledajte ABDM na slici. Na osnovu toga, preporučljivo je izvršiti sljedeće posmatranje područja: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Također imajte na umu da za h → 0 ili x_r - x_r-1 → 0, sva tri regiona postaju gotovo jednaka jedna drugoj. Stoga imamo:

sn = h [f (x0) + f (x1) + f (x2) + …. f (xn – 1)] = h r=0∑n–1 f (xr) (2)

ili Sn = h [f (x1) + f (x2) + f (x3) + ... f (xn)] = h r=1∑n f (xr) (3)

U ovom slučaju, s_n i S_n označite zbir površina svih donjih i gornjih pravougaonika podignutih iznad intervala [x_r–1, x_r] za r = 1, 2, 3,..., n respektivno. Da bi se ovo stavilo u perspektivu, jednačina (1) se može prepisati kao:

sn< područje područja (PRSQP) < Sn ... (4)

Osim toga, pretpostavlja se da su granične vrijednosti (2) i (3) iste u oba slučaja, a uobičajena je samo površina ispod krive. Kao rezultat toga, imamo:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = područja PRSQP = ∫ab f (x) dx ... (5)

Područje je također granična vrijednost prostora koji se nalazi između pravougaonika ispod krivine i iznad krivine. Za praktičnost, trebali biste obratite pažnju do visine figure jednake krivini na lijevoj ivici svakog podintervala. Dakle, jednačina je prepisana u konačnoj verziji:

∫ab f (x) dx = limn → ∞ h [f(A) + f (A + h) + …. + f (A + {n – 1}h)]

ili ∫ab f (x) dx = (b-A) limn → ∞ (1 / n) [f (A) + f (A + h) + …. + f (A + {n – 1}h)]

Zaključak

Diferencijacija i integracija međusobno se razlikuju po brojnim svojstvima, formulama i suprotnim promjenama. Jedno se ne može pretvoriti u drugo bez pomoći. Ako diferencijacija pomaže u pronalaženju izvedenice, tada integracija vrši potpuno drugačiju radnju. Dodaje neke dijelove, može pomoći u stepenima skraćivanjem ili poboljšavanjem primjera pojednostavljivanjem.

Takođe se koristi za provjeru diferenciranih jednačina. Drugim riječima, djeluju kao jedinstvena cjelina, koja ne može koegzistirati odvojeno, jer se dopunjuju. Primjenom pravila, znajući mnogo tehnika, sada se garantuje za rješavanje složenih problema.